摘 要：鉴于一般的偏微分解析方法和传统数值方法处理高维期权定价问题存在很大困难，本文在单标的资产价格随机模型的基础上，推导了具相关性的多标的资产价格的随机过程公式，以此构造蒙特卡罗模拟高维欧式期权定价的随机模型，给出模拟算法，并分析了影响蒙特卡罗模拟效果的几个关键因素，模拟算例的结果显示模拟效果较好。
关键词：多标的资产；期权定价；随机微分方程；蒙特卡罗模拟
中图分类号：F830.9 文献标识码：Ａ 文章编号:１００３－９０３１(２０12)04－００39－０4 DOI:10.3969/j.issn.1003-9031.2012.04.10
期权定价方法有解析方法和数值方法[1]，对于标准期权或不是太复杂的衍生证券在一些必要的假设下存在偏微分方程的解析解或称封闭解。但是对于非标准的和高维问题的新型期权[2]，虽然理论上存在着复杂的偏微分数学模型和对应的数学解析式，但很难得到有效的计算结果。从数学角度讲，多标的资产期权定价问题就是求解一个高维的反抛物型方程具有不同的终值条件的定解问题，因此利用偏微分方程从理论上可以求出高维期权的Black-Scholes方程和相应的布莱克-斯科尔斯的公式，然而，对于这样一个被积函数带有奇性的多重积分的计算仍然是一个很困难的问题[3]。同时，期权定价的传统的数值方法如树图法[4]、有限差分法等[5]，对于高维期权等复杂衍生证券这些传统的数值方法受到很大限制，难以有效地实施。本文鉴于数学解析方法和传统的数值方法对多标的资产期权定价问题的困难，用蒙特卡罗模拟方法来对高维期权进行定价[6]。当衍生证券标的数较多时，蒙特卡罗模拟是一个比较有效的数值分析方法[7]。
关于多标的资产期权定价问题，现有文献中极少有对多标的资产价格的随机演化模型进行详细推导，而这是多标的资产期权定价的关键前提。本文在于推导了相关性的多标的资产价格的随机过程公式和蒙特卡罗模拟的随机模型，并给出模拟算法和算例。期权定价的关键在于确定多标的情形下具有相关性的各个标的资产价格行为的演化过程，从而得到各标的资产在有效期限内的价格进而收益。根据蒙特卡罗模拟原理和过程，蒙特卡罗模拟的关键之一是随机模拟路径的构造，它决定了模拟路径逼近真实路径的程度。如果能够确定多标的资产价格行为的随机过程，就可以利用蒙特卡罗的方法对标的价格进行模拟，并最终求得期权价格。
一、多标的资产价格的随机过程分析
多标的资产价格的随机演化过程可以认为是单标的资产价格随机过程推广到多维情形的，基于多个一般的单标的资产价格的随机微分方程，利用Ito定理推导多标的资产价格行为的随机微分方程[8]。
（一）构造多标的资产价格的随机微分方程模型
基本假设1：对每个标的资产价格Si（t），满足一般的单标的资产价格行为的随机微分方程[9]：
其中，Si（t）为标的资产的价格，i为其预期收益率，i是波动率；i，i均为常量； xi（t）为标准一维布朗运动，即维纳过程。
基本假设2：多标的资产价格之间存在相关性，这种相关性表现为Corr（xi，xj）=?籽ij。由于实际中，各个标的资产之间必然存在一定的相关性，因此这个假设是合理并且是必要的。
基本假设3：其他满足经典Black-Scholes模型的所有假设。
基于以上假设，下面给出多标的资产价格随机微分方程模型的推导过程。首先，将随机微分方程组即（1）式描述成矩阵形式为：
令X（t）=（1x1（t），2x2（t），……dxd（t））T，xi（t）为标准维纳过程或一维布朗运动，则根据多维布朗运动的定义容易证明随机向量X（t）=（1x1（t），2x2（t），……dxd（t））T服从多维布朗运动，且协方差矩阵Cov（X（t））ij=ij?籽ijt，记为X（t）~BM（0，∑），X（t） N（0，t，t∑），ij?籽ij=∑ij。抽取满足上述随机过程的多元随机变量X（t）等价于构造关系式X（t）=t+AW（t），使得∑=AAT成立，A为下三角矩阵[11]。这里取为d维零向量，W（t） BM（0，Id）即W（t）为标准d维布朗运动，W（t）=（W1（t），W2（t），……Wd（t））T，X（t） N（0，tId）。构造关系式：X（t）=AW（t）。然后，对X（t）=AW（t）两边微分得到：dX（t）=AdW（t），写成矩阵形式为：
dX（t）=idx1（t）┇ddxd（t）=A11 0 0┇ ?埙 0Ad1 … Adddw1（t）┇dwd（t） （3）
将dX（t）=AdW（t）矩阵形式即（3）式的每个分量代入随机微分方程组即（2）式，得到多标的资产价格的随机微分方程模型：
=idt+Aijdwj（t），i=1，2，…d （4）
其中，dwj（t）=ZjSi(tk)e， Zj N（0，1）。
（二）推导多标的资产价格的离散随机过程公式
对于随机微分方程组（4）式，将有效期[0，1]分成n等份，将其离散成0=t0 Si（tn）=Si（tn-1） exp（（i-21）（tn-tn-1）） exp（AijZn,j）（13）
令i-21=mi，=， 则有
Si（tn）=Si（t0） exp（（miT+（Aij（Z1,j+Z2,j+…Zn,j）））
=Si（t0）exp（miT+（Aij（Z,j））（14）
这里，Zj=Z1j+Z2j…+Znj，j=1，2，…d。
将（14）式表示成向量形式：
Si（tn）=Si（t0） exp（（miT+（（Ai）1×d Zd×1））（15）
其中，Si（t0）是标的价格初始值，（Ai）1×d是下三角矩阵A的第i行元素；Zd×1=（Z1，Z2，…Zd）T，Zj=Z1j+Z2j，…Znj，Zkj N（0，1），（k=1，2，…n）且相互独立。
（一）蒙特卡罗模拟多标的资产欧式期权的随机模型
利用到期日多标的资产价格的随机过程公式（15），可以对高维欧式期权进行模拟定价，现在对高维欧式期权中的欧式一揽子期权给出蒙特卡罗定价的随机模型。设Cj为第j次模拟的期权价格，也即是第j条样本路径的期权价格终值，payoff（j）为第j次模拟时的期权的到期日收益，M为模拟的总次数或样本路径数目，Sji为第j次模拟的各个标的资产到期日的价格，ai为各个标的资产的数量，k为到期日执行价格，无风险利率为r，期权有效期的时间段为T。欧式一揽子期权收益特性为：payoff（j）=max{（aiSji（T）-K），0}。
根据期权定价的风险中性定价原则，将到期日收益贴现到当前时刻即得到第j次模拟的期权价格Cj，
Cj=e-rTpayoff（j）=e-rTmax{（aiSji（T）-K），0）}（16）
再根据蒙特卡罗方法的原理，欧式一揽子期权的蒙特卡罗模拟定价的随机模型为：
C=Ci={e-rTmax（（aiSji（T）-K），0）}（17）
（二）蒙特卡罗模拟多标的资产欧式期权
输入: delta,rol,U,S,alpha,M,N,T,K,d,rate
输出: 最终模拟的期权价格C
参数说明：delta=（1，2,…d）T是标的变量的方差矩阵；rol（?籽ij）d×d是标的资产价格的对称的相关系数矩阵；U=（1，2，…d）T是各个标的资产的预期收益率向量；S=（S1，S2，…Sd）T是各个标的资产价格初值向量；aplha=（a1，a2，…ad）是多标的资产的权向量；M为模拟次数，N为总的时间离散数目，T为有效期时间长度，K为执行价格，d为标的个数，rate为无风险利率（具体算法从略，可向作者索取）。
三、模拟算例
模拟一个5标的欧式一揽子看涨期权，各参数如下：股票价格初值为S=[50 45 51 48 56]，各个股票价格的波动率分别为 delta=[0.1 0.2 0.15 0.21 0.17]，预期收益率U=[0.12 0.15 0.26 0.21 0.3]，各股票价格相关系数为ρ12=0.4、ρ13=0.3、ρ14=0.15、ρ15=-0.2、ρ23=0.6、ρ24=0.2、ρ25=0.3、ρ34=-0.12、ρ35=0.1、ρ45=0.5，各个股票权重分别为α1=α2=α3=α4=α5=0.2，期权有效期时间为T=1 (时间为年) ，到期日的执行价格为K=50，无风险年利率为r=0.1。由于本文使用的随机数是区别于低差异拟随机数的伪随机数，所以称这种蒙特卡罗模拟为伪蒙特卡罗P-MC（Pseudo- MonteCarlo）。模拟结果见表1。
从图形可以看出，随着模拟次数的增加，模拟误差整体趋势减少，但也有较大波动，说明伪蒙特卡罗模拟的误差不会因为次数增加而严格递减，原因在于伪随机数的分布不均匀和估计存在一定的方差。另外，随着模拟次数的增加，估计的区间大小在逐渐变小，并且区间缩小的幅度减少，说明模拟次数越多，估计精度和可靠性越高。如果给定一个模拟的精度，就可以确定模拟的次数，从而提高模拟效率。
四、结束语
多标的资产期权定价的关键问题在于确定相关性的多标的资产价格行为的演化过程，利用多维布朗运动和伊藤定理，可以推导出具有相关性的多标的资产价格行为的随机微分方程，进而可以推导期权在有效期内各个时间点上的收益函数。本文重点推导了多标的资产价格的随机微分方程模型和离散随机过程公式，从而为高维期权定价无论欧式还是美式的奠定了数学基础。
从多标的价格的随机微分方程模型的推导过程来看，可以充分利用多标的资产价格的相关性，对协方差矩阵进行分解，进而构造满足多维布朗运动的随机向量。随机模型的模拟实际价格的效果在很大程度上取决于协方差矩阵，该矩阵实际上包括两方面的参数，即标的资产的预期收益率和相关系数。实际模拟结果与这两个参数有很大关系，能否适当地估计标的资产的预期收益率和它们之间的相关系数，是影响蒙特卡罗模拟多标的资产期权定价的一个重要因素。实际中这两个参数是动态变化的，如果能够基于一般参数过程来模拟，效果应该更佳。蒙特卡罗模拟结果表明，对于高维欧式期权定价问题不失为一种有效的数值分析方法。但蒙特卡罗模拟效果不仅取决于随机模拟路径的构造，还有高维随机数的质量（分布均匀性）和估计方差。因此，如何构造更合理的随机过程、选择分布均匀性更好的高维随机数和运用减少方差的方法，对于提高蒙特卡罗模拟效果具有重要的意义，也是蒙特卡罗算法进一步优化改进的重要方向。
（特约编辑：罗洋）
参考文献：
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