【摘 要】本文研究中国著名科学家钱学森的应用数学思想。钱学森的初期应用数学思想形成于20世纪30年代。钱学森自身在工作和研究中所做出的重要成果都是应用数学的典范。随着科学与技术的发展，钱学森深具远见卓识，提出了同步的应用数学思想；钱学森的应用数学思想为我们今天发展应用数学指明了重要的方向。
【关键词】钱学森 工程控制论 应用数学 数学科学
【中图分类号】O29 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2012）03－0001－03
钱学森是闻名的应用力学家，工程控制理论的始祖，中国“两弹一星”的领导者和元勋。在他的杰出贡献中包含了应用数学，并形成了重要的应用数学思想。钱学森的初期应用数学思想形成于20世纪30年代。1936年，钱学森来到加州理工学院师从冯•卡门从事当时航空工程的科学理论――应用力学研究，并于1939年获航空与数学博士学位。钱学森说：那时，我们搞应用力学的，就是用数学计算来解决工程上的复杂问题，所以人家又称我们为应用数学家。冯•卡门在与钱学森的共事中发现了这位中国学生的非凡才智，并给予了钱学森高度的评价：他在许多数学问题上和我一起工作，我发现他非常有想象力，他具有天赋的数学才智，他能成功地将它与准确地洞察自然现象中物理图像的非凡能力结合在一起；作为一个青年学生，他帮我提炼了我自己的某些思想，使一些很艰深的命题变得豁然开朗。随着科学与技术的发展，钱学森根据自身在学习与工作过程中对数学的应用和理解，提出了同步的应用数学思想。
在本文中，我们将纵观钱学森的相关研究历程，深入地研究钱学森的应用数学思想及他对应用数学所做出的巨大贡献，并力图发掘对我们今天有借鉴意义的重要思想。
一 钱学森的应用数学思想
应用数学包含“应用”和“数学”。大体而言，应用数学包括两个部分：一部分就是与应用有关的数学，我们称之为“可应用的数学”。我们将现在已经可应用，或者即将可应用的数学称为可应用的数学。另外一部分是数学的应用，就是以数学为工具，探讨解决科学、工程学方面的问题。钱学森的应用数学应属于后者――数学的应用。在空气动力学、航空工程、喷气推进、工程控制论等方面，钱学森主要用数学的方法来计算或解答有关工程方面的问题；在其他方面，钱学森呼吁各学者将数学与边缘学科联系起来，利用数学来解决问题。下面是我们对于钱学森应用数学思想的理解：
1．研究者应具备在应用过程中发展数学的意识
数学方法在科学研究中只是一个工具，不一定是高深的，但是最有效的；研究者还应具备在应用过程中发展数学的意识。
钱学森在《论技术科学》一文中，将数学与物理学等学科一并归入自然科学中，并且认为：技术科学的研究离不开数学，数学这个理论工具在技术科学的研究中是非常重要的。每一个技术科学工作者首先必须掌握数学分析和计算的方法，正因如此，某些技术科学的发展，必定要等待有了所需要的数学方法以后才能进行。例如，统计数学就使多门技术科学（如控制论和运用学）能够建立起来。所以作为一个技术科学工作者，除了掌握现有的数学方法以外，还必须经常注意数学方面的发展，要能灵敏地认出对技术科学有用的新数学，并快速地加以利用。由于技术科学中的数学演算一般比自然科学多，于是有些青年工作者误认为数学是技术科学的关键，忘了数学只不过是一个工具。数学能使我们的分析和论证更加严密，研究结果得以量化，但不能代替对问题的真正认识。所以，数学仅是一个“宾”，而不是“主”。于是，我们可以说：好的技术科学的理论研究，它所用的数学方法必定是最有效的；但我们绝不能反过来说，所有用高深数学方法的技术科学研究都是好的工作。同时，随着技术的进步与科学的发展，在研究工作中对数学的期望会逐步增加，因此，我们不能把数学当成一成不变的工具，而应该具备在应用中发展数学的意识，在研究中结合数学与实际创造更好的数学方法。在技术科学研究工作中，用数学分析和计算的地方很多，所以许多具体分析与计算的方法，如摄动法、能量法等，都是技术科学研究所创造出来的。
2．数学应该上升为数学科学，正确认识数学的重要性
钱学森在1989年8月18日中国数学会召开的数学教育与科研座谈会上，引入了数学科学这一概念。他解释：数学的运用已不限于自然科学，马克思在《资本论》中就用到了数学，所以说数学能够应用到一切科学技术研究中去，数学应该上升为“数学科学”，并列于自然科学和社会科学，成为现代科学技术的一个部门。每一门科学技术都有一个哲学的概括，数学科学的哲学概括是数学哲学。钱学森还从马克思主义哲学方面来解释：数学科学是从质和量的对立统一、质和量互变的角度去研究整个客观世界的。钱学森认为自己以前学习的《复变函数论》算不上是数学科学的基础学科，最多是中间层次的东西，是技术学科性质的东西。
钱学森的观点不仅受到与会数学家的共鸣，还在全国数学界引起了强烈的反响。北京大学一位教授认为：“我基本上同意钱学森的这个意见，数学不仅在自然科学的各个分支中有用，同时在社会科学的很多分支中也有用。”“数学的重要性不只在于它与科学的各个分支有着广泛而密切的联系，而且数学自身的发展水平也影响着人们的思维方式，影响着人文科学的进步。总之，数学作为一门科学有其特殊的重要性。”武汉大学一位教授也从数学与文化的关系上阐发了数学的重要性，“历史已经证明并将继续证明：一个没有相当发达的数学文化的民族是注定要衰落的；一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的；没有现代的数学就没有现代的文化，没有现代数学的文化是注定要衰落的”。
3．计算机可以促进数学科学更好地发展
长期以来，人们对数学的普遍认识是：一支笔和一张纸。然而，这种观念在现在的社会中已经行不通了。中国科学院软件研究所的胡世华老师在他的《信息时代的数学》一文中，就提出了计算机的出现会影响数学的发展的想法。钱学森肯定了胡世华的观点――电子计算机与数学科学之间应该有所联系，并且在此基础上点明了当时应该解决的问题――人工智能、智能计算机的问题。对于这个问题，他认为就需要数学家来帮忙解决信息加工、并行计算，特别是高度、极度并行计算等问题。这足以说明计算机技术对数学科学提出了新的问题。钱学森强调，我们搞数学的同志们一定要注意电子计算机跟数学科学的关系，注意电子计算机以及与电子计算机相关的人工智能、智能机的发展与我们的数学科学之间的关系。后来，钱学森在给一位学者的回信中指出：“我国数学界的同仁必须看到科学技术以及世界的新变化――电子计算机的出现和其将来的普遍使用。到21世纪，人类对数学的要求将有根本性的变化。所以，数学科学的研究和教学也将有根本性的变化，不然，起不了科学技术是第一生产力的作用。”这种想法在计算机的起步阶段，的确是大胆的想法。随着社会的发展和实践经验的论证，计算机在数学科学中确实起到了非常重要的作用，而且它们的有机结合成就了计算数学。
4．理工科大学生的数学教育应达到的目标
理工科大学生的数学教育应达到会用计算机解决问题和能准确地理解计算机给出的答案两个目标。电子计算机可以促进数学科学的快速发展，也将意味着：在理工科的实际工作中，不再是用手算，而是用电子计算机去求解。既然是用计算机解决问题，那么，首先我们必须学会如何使用计算机，学会如何操作计算机正确地求解问题；然后，我们必须能够理解计算机给出的解答。关于理解的问题，就是要从宏观的整体的角度去认识。现在技术科学工作者的研究步骤基本可以分为以下三部分：（1）分析实际问题，即认清问题的本质。（2）建立数学模型，即根据数学理论知识，通过对问题想象的了解，吸收主要因素、略去次要因素所制造出来的思想上的结构物。（3）求解数学模型，这里需要计算数学的方法。物理中的数学方程往往不能精确地求解，因而必须用数值分析法通过计算机求它的近似解。对于这些解，若不能准确地理解，那将是枉然的。
二 钱学森的应用数学成果
钱学森一生所做出的成就很大，成果也很多。在这里我们主要选用的是他在加州理工学院期间做的论文及在美国被囚禁的时期内研究的控制论，是他在应用数学方面的重要成果。
1．可压缩流体边界层研究
1938年，钱学森在冯•卡门的指导下，首先从事高速飞行的空气动力学研究，即可压缩流体边界层研究。这一问题在数学求解上的困难在于，高速飞行时飞行体周围的空气密度发生显著的变化，即压缩性效应，这使得方程不再是线性的。钱学森采用简化边界层方程的做法，然后运用逐次近似解法求解非线性方程，取得了成功。他把已知的不可压缩流动的解推广到可压缩流动，即飞行马赫数较大的情况，得到有关高速飞行体的阻力和表面热效应两方面的重要结论。钱学森的这一研究从理论上预见了实现高速（即声速和超声速）飞行将面临的一大障碍，即后来人们所称的“热障”。
2．“卡门－钱近似”方法
冯•卡门建议钱学森在博士论文中，研究与高速飞行直接相关的考虑空气可压缩效应的问题。论文第3部分是寻求计算高速飞机翼面上压力分布的方法。那时，对于亚声速流动，已有的方法只能计算机翼很薄或飞行速度较低的情况。丹姆千科和布兹曼采用了查普雷金变换，把原来的非线性方程化为线性方程，用驻点处的切线代替等熵关系曲线，求得翼面上的压力分布，可惜只适用于飞行速度为马赫数Ma＜0.5的情况。冯•卡门建议钱学森改用来流状态点处的切线代替等熵关系曲线。遵照老师的指导，钱学森通过计算研究，证明虽然同样是切线近似，采用来流状态点处的切线近似，果然得到更为精确的结果，适用范围还可扩大到高亚声速的流动。这就是著名的“卡门－钱近似”方法。在第二次世界大战期间及战后一个相当长的时期内，上述近似计算方法广泛应用于飞机翼型的设计，特别是应用于计算作用在机翼上的各种力。
3．工程控制论
新中国成立后不久，钱学森便着手准备回国。由于钱学森当时参与的是机密军事科技研究，而且美国当局不想失去钱学森这个优秀人才，因此美国当局无端指控钱学森意图让其回国受阻。但是，钱学森强烈的回国愿望时刻存在，他考虑到如果继续机密科技的研究，就可能引起美方的进一步“关照”，而使回国的愿望变得遥遥无期。于是，钱学森改变研究方向，进行工程控制论的研究。在钱学森的研究工作中，他自身卓越的思维能力成就了数学技巧与工程实践高度灵活的结合。工程控制论所运用的数学水平相当于大学数学分析课程的水准，复变数积分、变分法和常微分方程是必备的知识，但他遵循“使问题的数学困难减轻到进行研究工作的工程师所能处理的程度”，“只要比较直观的讲法能够达到目的”，“就不用严密的精巧的数学方法来讨论”的原则，实现了数学与工程的巧妙结合。
三 钱学森应用数学思想的几点启示
1．研究中应具备创新意识和敢于将数学科学与其他学科结合的勇气
创新是科学精神中本质性、革命性的特征；创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。在研究中，应该具备大胆的创新精神。当然，创新并不意味着不切实际的疯狂猜测，而应该是立足于基础理论知识，以前人的研究为基础，结合丰富的想象力去大胆地假设、验证、修改。在反复的验证、修改之后得到前人没有研究出的东西。钱学森之所以能够创造杰出的成就，是因为他具有强烈的创新意识，而杰出的成就又彰显出他强烈的创新精神。钱学森的创新精神的形成与他的生活环境和学习氛围也是密不可分的。钱学森在加州理工学院学习时，冯•卡门每周主持一次研究讨论会和一次学术研讨会，在学术活动中，没有身份之分，只要是有道理的就是正确的，师生经常会为某个问题争到面红耳赤。这些学术活动给钱学森提供了锻炼创造性思维的良好机会。从钱学森的学习生涯中，我们的老师们应该意识到要高度重视思维能力的培养，在教学过程中，不要一味地教学生学会某个方法或理论，然后再教他们如何应用所学知识去解决问题，而应该启发学生如何思考问题，然后根据自己的所想去查找资料来解决问题。
任何学科都不是独立存在的，每个学科之间都存在一定的联系。能否将数学科学与其他不同的学科联系起来，首先必须具备一定的理论基础知识，其次还必须具备大胆的创新意识，敢于将数学科学与其他边缘学科结合。钱学森提出了要注意边缘学科的问题，并设想把现代科学技术，特别是把数学方法引入社会主义国民经济和企业事业单位的管理工作中去。钱学森在系统工程方面也尝试利用数学方法对宏观经济和微观经济进行分析。看似毫无关系的东西，在钱学森的眼里居然神奇般地联系上了。这些都教会我们在工作学习中，都不能只看表面现象，要大胆地尝试、大胆地创新。
2．在学习工作中应不断加强学习不同学科的新知识，博学多益
在美国加州理工学院学习时，钱学森是一名航空系的研究生，但利用课余时间，他也去其他系听课，学到很多自然科学理论知识。钱学森在《论技术科学》一文中也提到：“在19世纪，科学家们忙于建立自然科学的完整体系，而工程师们忙于用在实际工作中所积累的经验来改造生产方法。当然，这也是每方面的工作发展的需要，然而，这种分工不应如此明显。科学家也应该结合实际情况来完善体系，工程师们则应该对自然科学有所了解，才不至于面对问题时束手无策。”
钱学森经常参加各种专业的研讨会，这使他能更深层次地解决航空和火箭技术面临的难题，比别人更早地预见到有必要在微观与宏观结合的层次上开展研究。钱学森之所以能够创立工程控制论，得益于他广博的数理基础，掌握科学技术的新动态，使他可以突破自己专业的局限，进行跨学科、跨领域的会通综合。如果钱学森没有数学天赋，那么在工程方面遇到的诸多难题就不可能被轻易地转化为数学问题得到解决，也就不可能有后来的重要结论。
从钱学森身上，我们深刻感受到数学知识对他的研究工作的重要性。他曾说，每当遇到不能解决的问题时，他总会考虑到对数学知识的掌握尚有欠缺，于是重拾课本继续学习。可见，学习是无止境的，没有任何一个人能够说他学完了所有知识，我们应该在学习和工作中勇敢地发现自己的不足，并不断地学习。
3．应该具备科学的理论思想和辩证唯物主义思想
爱因斯坦说过，理论决定我们所能观察的问题，这道出了科学思想与方法论在科学研究中的意义。科学思想与方法论是战略层次的问题，解决问题所采用的研究方法则是战术层次的问题。如果思想方法正确，则易于抓住问题的本质，易于事半功倍。而如果理论不过关，假设了错误的思想，那么无论选用什么高深的数学方法都无济于事。钱学森的工程控制论的创立离不开他的科学方法论，即坚持科学理论与工程实践结合的“技术科学”思想与方法。钱学森将数学独立划为数学科学则是运用马克思主义哲学，特别是系统论对科学分类方法的又一创新。科技在不断进步，科学也在不断发展，那么解决问题的方法论是否也应该发展呢？当然，面对进步，我们遇到的问题也将会越来越复杂，或许先前的方法解决不了了，于是，我们应该顺应发展不断创造出新的方法。
四 结束语
钱学森用数学为我们做出了很多贡献，形成了重要的应用数学思想，也曾多次向国家相关领导人道明了数学的重要性。钱学森指出，数学的发展关系到第一生产力――科学技术的发展。因此，我们要以钱学森的应用数学思想为指导，努力地学好数学，同时，还应该将数学的理论灵活地运用到其他学科的相关领域中，将数学作为工具进行更好的研究，并在研究中进一步完善和发展数学科学。
参考文献
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