数学开放性问题按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.
一、条件开放问题
开放型探索问题：条件不完备、结论不确定（或不明确），解题依据和方法往往也不唯一，需要解题者积极探索方可解决，这样的习题称之为开放探索性问题（或称开放题）.
例1 （2010江苏南京高三模拟）有一解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：
在△ABC中，已知a=3,B=45?°?， ，求角A.经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A=60?°?，请直接在题中横线上将条件补充完整.
分析：要把横线处补全，就要把A的度数作为已知条件求b和c的值，由a，A和B的度数，根据正弦定理求出b的长，再由三角形的内角和定理求出C的度数，由a，b及?cos?C，利用余弦定理即可求出c的长．但仍需检验所得结果是否符合题意.
解答：由正弦定理，得a?sin?A=b?sin?B，即3?sin?60?°?=b?sin?45?°?，得b=2.
经检验，b=2时，?sin?A=32,A=60?°?或120?°?，不符合题意.
由此推知角C最大，所以横线上填写边c长度时，得到的角A便只有一解，由余弦定理得c=2+62.
故答案为c=2+62.
点评：此题考查对正弦、余弦定理的灵活运用，但是需要注意解题的过程就是转化的过程，如果不是等价转化，就容易产生错误．
二、策略开放问题
方案设计型题是通过设置一个实际问题情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求同学们运用学过的技能和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决方案.有时也给出几个不同的解决方案,要求判断哪个方案较优.它包括测量方案设计、作图方案设计和经济类方案设计.
例2 （2009宁夏海南卷理）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．
分析：方案一：选择在三角形AMN中，用正弦定理求得AM，AN，再用余弦定理求解．
方案二：选择在三角形BMN中，用正弦定理求得BM，BN，再用余弦定理求解．
解：方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α?1，β?1；B点到M，N的俯角α?2，β?2；A，B的距离d（如图所示）；
②第一步：计算AM，由正弦定理
AM=d?sin?α?2?sin?(α?1+α?2)；
第二步：计算AN．由正弦定理
AN=d?sin?β?2?sin?(β?2－β?1)；
第三步：计算MN．由余弦定理
MN=AM?2+AN?2－2AM×AN?cos?(α?1－β?1)．
方案二：①需要测量的数据有：
A点到M，N点的俯角α?1,β?1；B点到M，N点的俯角α?2,β?2；A，B的距离d（如图所示）；
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