现行普通高中课程标准实验教科书（人教?A?版）必修4第138页?B?组第3题： 观察以下各等式： ?sin??230?°?+?cos??260?°?+?sin?30?°??cos?60?°?=34
?sin??220?°?+?cos??250?°?+?sin?20?°??cos?50?°?=34
?sin??215?°?+?cos??245?°?+?sin?15?°??cos?45?°?=34
分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出正明．
反映一般规律的等式可以是（表述形式不唯一）
?sin??2α+?cos??2(α+30?°?)+?sin?α?cos?(α+30?°?)=34
此题对于培养学生观察、发现、分析、综合能力大有帮助，另外，此题证法较多，下面给出七种不同的方法，以期开拓思路，提高解题能力．
法1：
?sin??2α+?cos??2(α+30?°?)+?sin?α?cos?(α+30?°?)
=?sin??2α+(?cos?α?cos?30?°?-?sin?α?sin?30?°?)?2+?sin?α(?cos?α?cos?30?°?-?sin?α?sin?30?°?)
=?sin??2α+32?cos?α-12?sin?α?2+??sin?α32?cos?α-12?sin?α
=?sin??2α+34?cos??2α-32?sin?α?cos?α+14?sin??2α+32?sin?α?cos?α-12?sin??2α
=34(?sin??2α+?cos??2α)=34
法2:
?sin??2α+?cos??2(α+30?°?)+?sin?α?cos?(α+30?°?)
=1-?cos?2α2+1+?cos?(2α+60?°?)2+12［?sin?(2α+30?°?)+?sin?(-30?°?)］
=1+12［?cos?(2α+60?°?)-?cos?2α］+12?sin?(2α+30?°?)-14
=1+12×(-2)?sin?(2α+30?°?)?sin?30?°?+12?sin?(2α+30?°?)-14
=1-12?sin?(2α+30?°?)+12?sin?(2α+30?°?)-14
=34
法3：
?sin??2α+?cos??2(α+30?°?)+?sin?α?cos?(α+30?°?)
=［?sin?α+?cos?(α+30?°?)］?2-?sin?α?cos?(α+30?°?)
=［?cos?(90?°?-α)+?cos?(α+30?°?)］?2-12［?sin?(2α+30?°?)+?sin?(-30?°?)］
=［2?cos?60?°??cos?(30?°?-α)］?2-12?sin?(2α+30?°?)+14
=?cos??2(30?°?-α)-12?sin?(2α+30?°?)+14
=1+?cos?(60?°?-2α)2-12?cos?(60?°?-2α)+14=34
法4：
?sin??2α+?cos??2(α+30?°?)+?sin?α?cos?(α+30?°?)
=?sin??2α+?sin??2(60?°?-α)+?sin?α?sin?(60?°?-α)
=?sin??2α+?sin??2(60?°?-α)+2?sin?α?sin?(60?°?-α)?cos?60?°?
=?sin??2α+?sin??2(60?°?-α)+2?sin?α?sin?(60?°?-α)?cos?［α+(60?°?-α)］
=?sin??2α+?sin??2(60?°?-α)+2?sin?α?sin?(60?°?-α)［?cos?α?cos?(60?°?-α)-?sin?α?sin?(60?°?-α)］
=?sin??2α+?sin??2(60?°?-α)+2?sin?α?sin?(60?°?-α)?
?cos?α?cos?(60?°?-α)-2?sin??2α?sin??2(60?°?-α)
=?sin??2α［1-?sin??2(60?°?-α)］+?sin??2(60?°?-α)?
(1-?sin??2α)+2?sin?α?sin?(60?°?-α)?cos?α?cos?(60?°?-α)
=?sin??2α?cos??2(60?°?-α)+?sin??2(60?°?-α)?cos??2α+2?sin?α?sin?(60?°?-α)?cos?α?cos?(60?°?-α)
=［?sin?α?cos?(60?°?-α)+?cos?α?sin?(60?°?-α)］?2
=?sin??2［α+(60?°?-α)］
=?sin??260?°?
=34
法5：令?sin?α=a+b,?cos?(α+30?°?)=a-b
a=12［?sin?α+?cos?(α+30?°?)］=12［?sin?α+?sin?(60?°?-α)］=12×2?sin?30?°??cos?(α-30?°?)
=12?cos?(α-30?°?)
b=12［?sin?α-?cos?(α+30?°?)］=12［?sin?α-?sin?(60?°?-α)］=12×2?cos?30?°??sin?(α-30?°?)
=-32?sin?(α-30?°?)
原式=(a+b)?2+(a-b)?2+(a+b)(a-b)=3a?2+b?2=3×12?cos?(α-30?°?)?2+-32?sin?(α-30?°?)?2
=34［?cos??2(α-30?°?)+?sin??2(α-30?°?)］=34
法6：设
A=?sin??2α+?cos??2(α+30?°?)+?sin?α?cos?(α+30?°?)
B=?cos??2α+?sin??2(α+30?°?)+?cos?α?sin?(α+30?°?)
则A+B=2+?sin?(2α+30?°?)
A-B=?cos?(2α+60?°?)-?cos?2α+?sin?(-30?°?)?
=-2?sin?(2α+60?°?)+2α2?sin?(2α+60?°?)-2a2-12?
=-2?sin?(2α+30?°?)?sin?30?°?-12
以上两式相加得：2A=32,∴A=34
法7：原式即为?sin??2α+?sin??2(60?°?-α)+?sin?α?sin?(60?°?-α)=34，
构造三角形△ABC，令A=α,B=60?°?-α,C=120?°?
?sin??2α+?sin??2(60?°?-α)+?sin?α?sin?(60?°?-α)
=?sin??2α+?sin??2(60?°?-α)-2?sin?α?sin?(60?°?-α)?cos?120?°?
=?sin??2A+?sin??2B-2?sin?A?sin?B?cos?C=14R?2(a?2+b?2-2ab?cos?C)
=14R?2×c?2=?sin??2C=?sin??2120?°?=34
方法1利用两角和的余弦公式将?cos?(α+30?°?)打开，是最直接的方法．学生应熟练掌握．方法２利用降幂公式结合积化和差与和差化积公式．法３法４法５利用公式变形或变角，虽然过程并不很简单，给我们耳目一新之感．方法５利用代换，最终都统一为α-30?°?的正弦和余弦．方法６利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法新颖别致，但要注意构造B式不要把A中的正弦都改为余弦，而应保留A式中的?cos?(α+β)．方法７通过类比三角形中的余弦定理（结构相似），巧妙地构造三角形，结合正弦定理得以证明，方法巧妙，不拘一格．