关于等比数列求和公式的推导,是教学的重点、也是教学的难点。但是在课堂教学过程中,只要教师能有效地发挥教学的主导作用,引导学生将新旧知识联系起来寻找解决问题的突破口,问题就会变得简单明了。现在,我就等比数列前n项和公式的推导方法作如下探讨,仅供大家参考。?
方法一:以等比数列的定义和前n项和的意义为切入点,引导学生联系初中学过的等比性质,我在导入新课之前设置了以下问题:?
(1) 等比数列的定义:a?2a?1=a?3a?2=a?4a?3=…=a?na??n-1?=
a?
(2) 数列前n项和的意义:S?n=a?1+a?2+a?3+…+a?n?
(3) 请回顾初中学过的等比性质。?
学生自然会联系等比性质由(1)得到:a?2+a?3+a?4+…+a?na?1+a?2+a?3+…+a??n-1?=q?
于是,不难得出:S?n-a?1S?n-a?n=q,∴(1-q)S?n=a?1-qa?n?
当q≠1时,S?n=a?1-a?nq1-q, ?
∵a?n=a?1q??n-1?,∴S?n=a?1-a?1q??n-1?q1-q=a?1(1-q?n)1-q?
∴S?n=a?1-a?nq1-q=a?1(1-q?n)1-q?
当q=1时,S?n=na?1?
方法二:仍然以等比数列定义为依据启发学生思考:数列{a?n}是等比数列?a??n+1?a?n=q(n∈N),∴a??n+1?=qa?n,即等比数列中的每一项乘以公比都得到下一项,于是就容易得到错位做差法,也就是高中数学教材(人教版)第一册(上)p??126?页的证法。?
S?n=a?1+a?1q+a?1q?2+…+a?1q??n-2?+a?1q??n-1? ①?
①×q,得?
qS?n=a?1q+a?1q?2+…+a?1q??n-2?+a?1q??n-1?+a?1q?n ②?
①-②,得(1-q)S?n=a?1(1-q?n)?
当q≠1时,S?n=a?1(1-q?n)1-q=a?1-a?nq1-q?
当q=1时,S?n=na?1?
方法三:受证法二的“消项”这一思想方法的启示,引导学生给
S?n=
a?1+a?1q+a?1q?2+a?1q??n-2?+a?1q??n-1?
的左边通过添项、提取公因式等恒等变形手段,同样可以达到消去中间项的目的。所以有:?
S?n=a?1+a?1q+a?1q?2+…+a?1q??n-2?+a?1q??n-1?+a?1q?n-a?1q?n
=a?1+q(a?1+a?1q+a?1q?2+…+a?1q??n-2?+a?1q??n-1?)-a?1q?n
=a?1+qS?n-a?1q?n
=a?1(1-q?n)+qS?n
?
∴(1-q)S?n=a?1(1-q?n)?
当q≠1时,S?n=a?1(1-q?n)1-q=a?1-a?nq1-q?
当q=1时,S?n=na?1?
方法四:启发学生思考数列前n项和S?n与第n项a?n的关系:a?n=S?n-S??n-1?(n∈N??+?,n≥2),类似证法三,从第二项起开始提取公比q。有:?
S?n=a?1+a?1q+a?1q?2+…+a?1q??n-2?+a?1q??n-1?
=a?1+q(a?1+a?1q+a?2q?2+…+a?1q??n-3?+a?1q??n-2?)
=a?1+qS??n-1?
=a?1+q(S?n-a?n)
?
∴(1-q)S?n=a?1-qa?n?
当q≠1时,S?n=a?1-a?nq1-q=a?1(1-q?n)1-q?
当q=1时,S?n=na?1?
方法五:受方法三、四的启发,从第一项起每一项提取a?1,联系到公式:1-q?n=(1-q)(1+q+q?2+…+q??n-1?),当q≠1时,1+q+q?2+…+q??n-1?=1-q?n1-q。于是得到:?
S?n=a?1+a?1q+a?1q?2+…+a?1q??n-2?+a?1q??n-1?
=a?1(1+q+q?2+…+q??n-1?)
?
当q≠1时,S?n=a?1(1-q?n)1-q=a?1-a?nq1-q?
当q=1时,S?n=na?1?
以上我从不同的角度引导学生寻求等比数列前n项和的推证方法,使学生在学习新知的过程中容易产生耳目一新的情景,不但有利于学生深刻理解、记忆等比数列前n项和公式,更重要的是学生通过这五种证法,获得了一些解决问题的思想方法。