篇一：2016年高考北京卷理数试题及答案
绝密★启封并使用完毕前
2016年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分，考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项。
（1）已知集合A={x|x|<2}，B={-1,0,1,2,3}，则A∩B=
（A）{0，1} （B）{0,1,2}
（C）{-1,0,1} （D）{-1,0,1,2}
?2x?y?0,?（2）若x,y满足?x?y?3,则2x+y的最大值为
?x?0,?
（A）0 （B）3 （C）4 （D）5
（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值
为
（A）1（B）2 （C）3 （D）4
（4）a,b是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（5）已知x,y?R,且x>y>0,则
11??0XY
1x1y（C）()?()?0 22（A） （B）sinx-siny>0 （D）lnx?lny?0
（6）某三棱锥的三视图如图所示，则改三棱锥的体积为
（A）111
（B） （C）t? （D）1 632（7）将函数y?sin(2x??)图像上的点p(,t)向左平移s(s?0)个单位长度得到点p'，若34?
p'位于y?sin2x的图像上，则
（A）t?
（C）t=1??，s的最小值为 （B
）t?，s的最小值为 26621?，s的最小值为23（D）
t=t??，s的最小值为 3
（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半。甲、乙、丙是三个空盒。每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒。重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则
（A） 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
（B） 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
（C） 乙盒中红球不多于丙盒中红球
（D） 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，没小题5分，共30分。
（9）设??R ，若复数（1+i）（?+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则?=____________
（1?2x）的展开式中，x的系数为（用数字作答） （10）在
（11）在极坐标系中，直
线?cos?sin??1?0??2cos?交于A,B两点，则.
（12）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和. 若a1=6，a3?a5?0，则S622
x2y2
（13）双曲线2?2?1(a?0,b?0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点ab
B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2，则x?3xx??(14)设函数f（x） ={?2x，x>?3
①若a=0，则f（x）的最大值为;
②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是 .
三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
在△ABC中，a2+c2=b2
（Ⅰ）求∠B的大小；
的最大值.
（16）（本小题13分）
A，B，C三个半公有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；
（Ⅰ）试估计C班的学生人数；
（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中个随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙。假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （Ⅲ）再从A,B,C三班中个随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8，25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数几位?1，表格中数据的平均数记为?0，试判断?0和?1的大小。（结论不要求证明）
17.（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=.
（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAD;
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD，若存在，求
理由。 的值，若不存在，说明
（18）（本小题13分）
设函数f（x）=+bx，曲线y= f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e-1）x+4，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间。
（19）（本小题14分）
x2y2AB已知椭圆C:2?2?1(a?b?
0)的离心率为，A（a,0）,B（0,b）,O（0，0），?Oab2
的面积为1.
（Ⅰ）椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上的一点，直线PA与y轴交与点M，直线PB与x轴交与点N。 求证：|AN|·|NM|为定值。
（20）（本小题13分）
设数列A：,,..., (N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有＜,则称n是数列A的一个“G时刻”，记G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合。
（I） 对数列A：-2,2，-1,1,3，写出G（A）的所有元素；
（II） 证明：若数列A中存在使得>,则G（A）≠?
（Ⅲ）若数列A满足-≤1（n=2，3，...，N），则G（A）的元素个数不小于
-
1. C
【解析】集合A?{x|?2?x?2}，集合B?{x|?1,0,1,2,3}，所以A?B?{?1,0,1}.
2. C
【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为?1,2?，最大
值为2?1?2?4.
x+y=32x-y=0
(1,2)
2x+y=0
x=0
3. B
1【解析】开始a?1，k?0；第一次循环a??，k?1；第二次循环a??2，k?2，第三次2
循环a?1，条件判断为“是”跳出，此时k?2.
4. D ??????【解析】若a=b成立，则以a，b为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，a+b，
??????a?b表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以a+b=a?b不一??????定成立，从而不是充分条件；反之，a+b=a?b成立，则以a，b为边组成平行四边??形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以a=b不一定成立，从而
不是必要条件.
5. C
【解析】 A.考查的是反比例函数y?11111在?0,???单调递减，所以?即??0所以Axyxyx
x错； B.考查的是三角函数y?sinx在?0,???单调性，不是单调的，所以不一定?1?有sinx?siny，B错；C.考查的是指数函数y???在?0,???单调递减，所以有?2?
篇二：2015年北京市高考理科数学试题及答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考
试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数i?2?i??
A．1?2i B．1?2iD．?1?2i
?x?y≤0，?
2．若x，y满足?x?y≤1，则z?x?2y的最大值为
?x≥0，?
3 2
3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A．??2，2?B．??4，0?
C．?1?2i
A．0 B．1 C．D．2
?8? D．?0，
4．设?，?是两个不同的平面，m是直线且m??．“m∥?”是“?∥?”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是
侧(左)视图
C．??4，?4?
俯视图
A
．2? B
．4 C
．2? D．5
6．设?an?是等差数列. 下列结论中正确的是
A．若a1?a2?0，则a2?a3?0B．若a1?a3?0，则a1?a2?0 C．若0?a1?
a2，则a2D．若a1?0，则?a2?a1??a2?a3??0
7．如图，函数f?x?的图像为折线ACB，则不等式f?x?≥log2?x?1?的解集是
A．?x|?1?x≤0? B．?x|?1≤x≤1? C．?x|?1?x≤1? D．?x|?1?x≤2?
8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速
度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
5
9．在?2?x?的展开式中，x3的系数为（用数字作答）
x2
10．已知双曲线2?y2?1?a?
0??y?0，则a?
a
π??
11．在极坐标系中，点?2?
?到直线?cos????6的距离为
3??
sin2A
12．在△ABC中，a?4，b?5，c?6，则 ?sinC
13．在△ABC中，点M，N满足AM?2MC，BN?NC．若MN?xAB?yAC，则x?y?
??
?2x?a?x?1??14．设函数f?x???
4x?ax?2a?x≥1.??????
①若a?1，则f?x?的最小值为
．
②若f?x?恰有2个零点，则实数a的取值范围是
三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15．（本小题13分）
xxx
已知函数f(x)cos2．
222
(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期； (Ⅱ) 求f(x)在区间[?π，0]上的最小值． 16．（本小题13分）
A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A组：10，11，12，13，14，15，16 B组：12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙． (Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率； (Ⅱ) 如果a?25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (Ⅲ) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
BC?4，EF∥BC，如图，在四棱锥A?EFCB中，平面AEF?平面EFCB，△AEF为等边三角形，
EF?2a，?EBC??FCB?60?，O为EF的中点． (Ⅰ) 求证：AO?BE； (Ⅱ) 求二面角F?AE?B的余弦值； (Ⅲ) 若BE?平面AOC，求a的值．
A
F
C
E
B
18．（本小题13分）
1?x
． 1?x
（Ⅰ）求曲线y?f?x?在点?0，f?0??处的切线方程；
已知函数f?x??ln
?x3?
1?时，f?x??2?x??； （Ⅱ）求证：当x??0，
3??
?x3?
1?恒成立，求k的最大值． （Ⅲ）设实数k使得f?x??k?x??对x??0，
3??
x2y2
1?和点A?m，n??m≠0?都在椭圆C已知椭圆C：2?2?1?a?b?
0?，点P?0，
ab
上，直线PA交x轴于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）； （Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得?OQM??ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由． 20．（本小题13分）
?2an，an≤18，
…?． 已知数列?an?满足：a1?N*，a1≤36，且an?1???n?1，2，
2a?36，a?18n?n
记集合M?an|n?N*．
（Ⅰ）若a1?6，写出集合M的所有元素；
（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
??
篇三：2014年北京高考理科数学试题及答案
绝密★启封并使用完毕前
2014年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
(1) 已知集合A?{x|x2?2x?0}，B?{0,1,2}，若A
B?
(A) {0} (B) {0,1} (C) {0,2} (D) {0,1,2} (2) 下列函数中，在区间(0,??}上为增函数的是
(A) y (B) y=(x?1)2(C) y?2?x (D) y?log0.5(x?1)
?x??1?cos?
(3) 曲线? ，（?为参数）的对称中心
?y?2?sin?
(A) 在直线y?2x上 (B) 在直线y??2x上
(C) 在直线y?x?1上(D) 在直线y?x?1上 (4) 当m?7,n?3时，执行如图所示的程序框图，输出的s值为 (A) 7 (B) 42 (C) 210 (D) 840
(5) 设{an}是公比为q的等(转载自：www.dXf5.cOm 东星资源网:高考数学北京卷答案)比数列，则“q?1”是“{an}”为递 增数列的
(A) 充分且不必要条件 (B) 必要且不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既非充分也非必要条件
?x?y?2?0
(6) 若x,y满足??kx?y?2?0且z?y?x的最小值为?4，则k的值是
?y?0?(A) 2 (B) ?2(C)
11 (D) ? 22
(7) 在空间坐标系O?xyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C
(0,2,0)，D(1,1，若S1，
S2，S3分别表示三棱锥D?ABC在xOy，yOz，zOx则坐标平面上的正投影图形
的面积，则
(A) S1=S2=S3 (B) S1=S2且S3?S1(C) S1=S3且S3?S2 (D) S2=S3且S1?S3
(8) 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A同学每科成绩
不低于B同学，且至少有一颗成绩比B高，则称 “A同学比B同学成绩好，”现在若干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的。问满足条件的多少学生
(A) 1(B) 3 (C) 4 (D ) 5
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 ?i?1? (9) 复数??_____ ． ?
?i?1?
2
(10) 已知向量a、b满足|a|?1，a、b?(2,1)且?a?b?0，则|?|?．
y2
(11) 在设曲线C经过点(2,2)，且?x2?1具有相同渐近线，则C的方程是．
4
{an}的前 n(12) 若等差数列{an}满足a7?a8?a9?0，a7?a10?0，则当n?______时，
项和最大．
(13) 把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻 ，且产品A与产品C不相邻，
则不同的摆法有_____ 种．
(14) 设函数 f(x)?Asin(?x??)（A,?,?是常数，A?0,??0），若f(x)在区间[
上具有单调性，且f()?f(
??
,]
62
?
2
2??
)?-f()，则f(x)的最小正周期为 ． 36
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。 (15)（本小题13分） 如图，在?ABC中，?B?（Ⅰ）求sin?BAD． （Ⅱ）求BD，AC的长．
?1，AB?8，点D在BC边上，且CD=2，cos?ADC? 37
李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛相互独立）
（Ⅰ）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率； （Ⅱ）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，另
一场不超过0.6的概率；
（Ⅲ）记x是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这
场比赛中的命中次数，比E(X)和x的大小。
如图，正方形AMDE的边长为2， B，C分别为AM和MD的中点，在五棱锥P?ABCDE中，F为PE的中点，平面ABC与棱PD，PC分别相较于点G、H．
（Ⅰ）求证：AB//FG；
（Ⅱ）若PA?平面ABCDE，且A为垂足，求直线BC与平面ABF所成的角，并求线段P
的长
A
BC
FE
H
D
P