篇一：2010江苏高考数学试卷含答案
2010
参考公式： 锥体的体积公式：V锥体?1Sh，其中S是锥体的底面面积，h是高. 3
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上. ．．．．．．．．．
1. 设集合A???1,1,3?，B?a?2,a?4，A?B??3?，则实数a的值为. 2??
2. 设复数z满足z(2?3i)?6?4i（其中i为虚数单位），则z的模为.
3. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 ▲.
4. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有 ▲根在棉花纤维的长度小于20mm.
5. 设函数f(x)?x(e?ae)(x?R)是偶函数，则实数a= ▲. x?x
x2y2
6. 平面直角坐标系xOy中，双曲线??1上一点M，点M的横坐标 412
是3，则M到双曲线右焦点的距离是.
7. 右图是一个算法的流程图，则输出S的值是.
2（第4题图）
8. 函数y?x(x?0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正
整数，a1=16，则a1+a3+a5.
9. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆x?y?4上有且仅有四个点到直线22
12x?5y?c?0的距离为1，则实数c的取值范围是.
10. 定义在区间?0,?
????上的函数y?6cosx的图像与y?5tanx的图像的交点为P，2?
过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与?sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的
长为 ▲.
（第7题图） ?x2?1,x?0211. 已知函数f(x)??,则满足不等式f(1?x)?f(2x)的x的范围是x?0?1,
x3x2
?9，则4的最大值是 ▲. 12. 设实数x,y满足3?xy?8,4?yy2
13. 在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c?b
aaantCant则?6cosC，?bantAantC. B
14. 将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，
记
2(梯形的周长）,则S的最小值是. S?梯形的面积
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明．．．．．．．
或演算步骤.
15.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1).
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）设实数t满足(AB?tOC)·OC=0，求t的值.
16. （本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900.
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离.
17. （本小题满分14分）
某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h?4m，仰角 ∠ABE=?，∠ADE=?.
（1）该小组已经测得一组?、?的值，tan?=1.24，tan?=1.20，请据此算出H的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使?与?之
差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，?-?最大？
（第17题图）
18. （本小题满分16分）
x2y2
在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆??1的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点T95
（t,m）的直线TA,TB与椭圆分别交于点
M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中
m?0,y1?0,y2?0.
（1）设动点P满足PF2?PB2?4,求点P的轨迹；
1，求点T的坐标； 3
（3）设t?9,求证：直线MN必过x轴上的一定点.（其坐标与m无关） （2）设x1?2,x2?
19.（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，已知2a2?a1?a3，数列
列.
（1）求数列?an?的通项公式（用n,d表示）
（2）设c为实数，对满足m?n?3k且m?n的任意正整数m,n,k，不等式Sm?Sn?cSk都成立，求
证：c 的最大值为
20.（本小题满分16分）
设f(x)是定义在区间(1,??)上的函数，其导函数为f'(x).如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x?(1,??)都有h(x)>0，使得f'(x)?h(x)(x?ax?1)，则称函数f(x)具有性质P(a).
（1）设函数f(x)?h(x)?2S是公差为d的等差数n9. 2b?2(x?1)，其中b为实数 x?1
（ⅰ）求证：函数f(x)具有性质P(b)；
（ⅱ）求函数f(x)的单调区间；
??mx1?(1?m)x2，（2）已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1,x2?(1,??),x1?x2,设m为实数，
??(1?m)x1?mx2，且??1,??1，若|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|,求m的取值范围.
篇二：2010年江苏高考数学试卷及解析
2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ试题参考公式：锥体的体积公式: V锥体=1Sh，其中S是锥体的底面积，h是高。 3
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.．．．．．．．．．
1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a[解析] 考查集合的运算推理。3?B, a+2=3, a=1.
2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为[解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。
3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是[解析]考查古典概型知识。2
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100
根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指
标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所
示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小
于20mm。
[解析]考查频率分布直方图的知识。
100×（0.001+0.001+0.004）×5=30
5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x?R)是偶函数，则实数a[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。
x2y2
??1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线412
的距离是___▲_______
[解析]考查双曲线的定义。MF4?e??2，d为点M到右准线x?1的距离，d=2，MF=4。 d2
7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______
24[解析]考查流程图理解。1?2?2???2?31?33,输出S?1?2?2???2?63。 25
8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5
=____
▲_____
[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(ak,ak2)处的切线方程为：y?ak2?2ak(x?ak),当y?0时，解得x?
所以ak?1?ak， 2ak,a1?a3?a5?16?4?1?21。 2
9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2?y2?4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____ [解析]考查圆与直线的位置关系。圆半径为2，
圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，|c|?1，c的取值范围是（-13，13）。 13
10、定义在区间?0,?
???过点P作PP1⊥x轴于点P1，?上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，2?
直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。
[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值，
且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=22。线段P1P2的长为 33
?211、已知函数f(x)??x?1,x?0,则满足不等式f(1?x2)?f(2x)的x的范围是__ x?0?1,
2?1?x?2x?[解析]
考查分段函数的单调性。??x?(?1) 2??1?x?0
x2x3
12、设实数x,y满足3≤xy≤8，4≤≤9，则4的最大值是 ▲ 。yy2
[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。
111x2
2x3x2
21x3
()?[16,81]，2?[,]，4?()?2?[2,27]，4的最大值是27。 xy83yyyyxy
13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c?b
aatanCtan?6cosC，?则btanAtanC=____▲_____。 B
[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。
（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。
当A=B或a=b时满足题意，此时有：cosC?11?cosC1C2C??，tan?，tan， 321?
cosC22
tanA?tanB?1
tanC
2?，tanCtanC?= 4。 tanAtanB
baa2?b2?c23c2
222222?a?b,a?b?（方法二）??6cosC?6abcosC?a?b，6ab? ab2ab2
tanCtanCsinCcosBsinA?sinBcosAsinCsin(A?B)1sin2C???????由正弦定理，tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB
1c2c2c2
????4 得：上式=?cosCab1(a2?b2)13c2
?662
14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
2(梯形的周长）,则S的最小值是____。 S?梯形的面积
[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。
设剪成的小正三角形的边长为x
，则：S?2(3?x)2
?(0?x?1) 21?x（方法一）利用导数求函数最小值。
(3?x)2(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)，S?(x)? S(x)?222(1?
x)1?
x(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)?2(3x?1)(x?3) ??2222(1?x)(1?x)1S?(x)?0,0?x?1,x?， 3
11当x?(0,]时，S?(x)?0,递减；当x?[,1)时，S?(x)?0,递增； 33
故当x?1时，S
的最小值是。 33
（方法二）利用函数的方法求最小值。 t211112?令3?x?t,t?(2,3),?
(,)，则：S? t32?t?6t?8???1t2t
故当?
1t31,x?时，S
。 83
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15、（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(?t)·=0，求t的值。
[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。
????????（1）（方法一）由题设知AB?(3,5),AC?(?1,1)，则
????????????????AB?AC?(2,6),AB?AC?(4,4).
????????????????所以|AB?AC|?AB?AC|?
故所求的两条对角线的长分别为
。
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:
E为B、C的中点，E（0，1）
又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）
故所求的两条对角线的长分别为
BC=
AD=；
????????????（2）由题设知：OC=(－2,－1)，AB?tOC?(3?2t,5?t)。
由(AB?tOC)·=0，得：(3?2t,5?t)?(?2,?1)?0，
从而5t??11,所以t??11。 5
|OC|25????????????????????2????AB?OC或者：AB·OC ?tOC，AB?(3,5),t???11
16、（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB
DC，∠BCD=900。
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点A到平面PBC的距离。
[解析]
本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推∥
理论证能力和运算能力。满分14分。
（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC。
由∠BCD=900，得CD⊥BC，
又PD?DC=D，PD、DC?平面PCD，
所以BC⊥平面PCD。
因为PC?平面PCD，故PC⊥BC。
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。
易知
DF=，故点A到平面PBC
2
（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。
因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。
从而AB=2，BC=1，得?ABC的面积S?ABC?1。
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积V?
因为PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PD⊥DC。
又PD=DC=1
，所以PC?11S?ABC?PD?。 33?。
。 由PC⊥BC，BC=1，得?
PBC的面积S?PBC?
由VA?PBC?VP?ABC，S?
PBC?h?V?
故点A到平面PBC
131，得h? 3
17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β
(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值
(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大
篇三：2010年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)(数学[理])
2010年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数 学
参考公式：
nn2
样本数据x1，x2，…，xn的方差s＝ (x－x)，其中x＝x.
ni＝1ini＝1i
2
第Ⅰ卷(必做题 共160分)
一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．将答案填写在题中的横线上．
1．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________． 解析：由题意知a2＋4>3，故a＋2＝3，即a＝1， 经验证，a＝1符合题意， ∴a＝1. 答案：1
2．设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(i为虚数单位)，则z的模为________． 解析：∵z(2－3i)＝6＋4i， 6＋4i
∴z＝
2－3i∴|z|＝
2|3＋2i|
＝2. |2－3i|
答案：2
3．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．
解析：设3只白球为A，B，C,1只黑球为d， 则从中随机摸出两只球的情形有：
1
AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为.
21
答案：
2
4．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)．所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有________根棉花纤维的长度小于20 mm.
解析：由题意知，棉花纤维的长度小于20 mm的频率为(0.01＋0.01＋0.04)×5＝0.3， 故抽测的100根中，棉花纤维的长度小于20 mm的有0.3×100＝30(根)． 答案：30
5．设函数f(x)＝x(ex＋aex)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．
－
解析：设g(x)＝x，h(x)＝ex＋aex，
－
因为函数g(x)＝x是奇函数，
则由题意知，函数h(x)＝ex＋aex为奇函数，
－
又函数f(x)的定义域为R， ∴h(0)＝0，解得a＝－1. 答案：－1
x2y2
6．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线1上一点M的横坐标为3，则点M
412到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，15)或(3，－， 则点M到此双曲线的右焦点的距离为4. 答案：4
7．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是________．
解析：由算法流程图知， 当n＝1时，S＝1＋21＝3； 当n＝2时，S＝3＋22＝7； 当n＝3时，S＝7＋23＝15； 当n＝4时，S＝15＋24＝31；
当n＝5时，S＝31＋25＝63>33， 循环结束，故输出S的值是63. 答案：63
8．函数y＝x2(x
2解析：∵y′＝2x，∴在点(ak，a2k)处的切线方程为y－ak＝2ak(x－ak)，
又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)， 1
所以ak＋1＝k，
2
1
即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝，
2∴a3＝4，a5＝1， ∴a1＋a3＋a5＝21. 答案：21
9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1， 即要求圆心到直线的距离小于1， 即
|c|
<1，
12＋?－5?解得－13<c<13. 答案：(－13,13)
π
10．设定义在区间(0，上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象交于点P，过点
2P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．
??y0＝6cosx0
解析：设P(x0，y0)，则由?消去y0得，
?y0＝5tanx0?
6cosx0＝5tanx0?6cos2x0＝5sinx0，即6sin2x0＋5sinx0－6＝0， 32
解得sinx0＝－(舍去)或，
23
∵PP1⊥x轴，且点P、P1、P2共线， 2
∴|P1P2|＝sinx0.
32
答案：
3
2??x＋1，x≥0
11．已知函数f(x)＝?，则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是
?1，x<0?
________．
22
???1－x>2x?1－x>0
解析：由题意有?或?，
?2x<0???2x≥0
解得－1<x<0或0≤x2－1， ∴所求x的取值范围为(－1，2－1)． 答案：(－1，2－1)
x2x3
12．设x，y为实数，满足3≤xy≤8,4≤y9，则的最大值是________．
y
2
解析：由题设知，实数x，y均为正实数，
则条件可化为lg3≤lgx＋2lgy≤lg8，lg4≤2lgx－lgy≤lg9， 令lgx＝a，lgy＝b，则有
?lg3≤a＋2b≤3lg2??， ?2lg2≤2a－b≤2lg3?
x3
又设t＝lgt＝3lgx－4lgy＝3a－4b，
y
令3a－4b＝m(a＋2b)＋n(2a－b), 解得m＝－1，n＝2， 即lgt＝－(a＋2b)＋2(2a－b)≤－lg3＋4lg3＝lg27， x3
∴27. y
x2x4
另解：将4≤9两边分别平方得，16≤81，
yy111
又由3≤xy2≤8可得，≤≤
8xy3由①×②得，
x3x3
2≤27，即27.
yy答案：27
batanC13．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＝6cosC，则＋
abtanAtanC
的值是________． tanB
1
解析：取a＝b＝1，则cosC＝
34
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝，
3
① ②
∴c＝
23
， 3
在如图所示的等腰三角形ABC中， 可得tanA＝tanB＝2， 又sinC＝∴
22
，tanC＝2， 3
tanCtanC
＝4. tanAtanB
a2＋b2a2＋b2－c2ba3
＝6cosC得，a2＋b2＝c2，
abab2ab2tanCtanCcosAcosBsin2C2c2
∴＝tanC()＝＝4. tanAtanBsinAsinBcosCsinAsinBa＋b－c答案：4
14．将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块?梯形的周长?2
是梯形，记s＝s的最小值是________．
梯形的面积
解析：如图，设AD＝x(0<x<1)，则DE＝AD＝x， ∴梯形的周长为x＋2(1－x)＋1＝3－x， 又S△ADE＝
32x， 4
33
2， 44
∴梯形的面积为
2
43x－6x＋9∴s＝x<1)，
31－x∴s′＝
－3?3x－1??x－3?
×， 3?1－x?11
令s′＝0得x＝或3(舍去)，当x∈(0，)时，s′<0，s递减；
331
当x∈(，1)时，s′>0，s递增；
31323
故当x＝s的最小值是33答案：
3 3
二、填空题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中， 已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；