2012年2月11日的“北约”（北京大学、复旦大学、南开大学、香港大学等高校联合自主招生联盟称为“北约”）自主招生试题中有一道这样的题目： 若锐角△ABC的外心为O，则点O到三角形三边BC,CA,AB的距离之比为 ．（用角A,B,C表示?①）
本题可以这样解：如图， OD，OE，OF分别垂直BC，CA，AB于D，E，F，因为△ABC内接于圆O（设其半径为R），故∠BOC=2∠BAC,OB=OC=R，考察△BOC的面积可知：
S??△BOC?=BC×OD2=OB×OC×?cos?∠BOC2，由倍角公式和正弦定理得：
OD=2R?2?cos?∠BAC?sin?∠BACBC
=2R?2?cos?∠BACBC?sin?∠BAC=R?cos?∠BAC，
同理OE=R?cos?∠ABC,OF=R?cos?∠BCA；
所以，OD∶OE∶OF=?cos?A∶?cos?B∶?cos?C.
说明：本题条件中的△ABC如果是直角三角形，则斜边的中点为外心，比值没有意义；如果△ABC是钝角三角形，则用类似的方法可以得到OD∶OE∶OF=|?cos?A|∶|?cos?B|∶|?cos?C|，即原结论加上绝对值即可。
三角形除了外心，还有重心、内心、旁心、垂心，它们到三边的距离之比的情况，以及三角形的“五心”到顶点的距离之比的情况又是怎样的呢？这些距离的比能否用三角形的三个内角来表示？下面我们逐一加以讨论。
一、 三角形“五心”中的其他“心”到三边的距离之比
1．1 三角形的内心与旁心到三角形的三边距离之比：
三角形的内心是角平分线的交点。由角平分线性质知，内心到三边的距离相等，即内心到三边的距离之比为1∶1∶1；同理三角形的旁心（旁切圆圆心：两条内角平分线与一条外角平分线的交点，如图）到三边的距离之比也为1∶1∶1。
1．2 三角形的重心到三边的距离之比：
如图， G为△ABC的重心，求G到BC,CA,AB的距离之比．
连结GB,GC，分别过G,A作BC的垂线，垂足分别为E,F，设△ABC的面积为S，由重心的性质知：AG∶GD=2∶1，所以GE∶AF=2∶1，
故S??△GBC?=13S??△ABC?=S3，又S??△GBC?=12GE×BC，所以GE=2S3BC.
同理，G到AC和AB的距离分别为2S3AC，2S3AB，
所以，G到BC，CA，AB的距离比为2S3BC∶2S3CA∶?2S3AB=?1BC∶1CA∶1AB，
由正弦定理得：G到BC，CA，AB的距离之比为1?sin?A∶1?sin?B∶1?sin?C．
说明：三角形的重心一定在三角形的内部，故本结论不仅对锐角三角形成立，对直角三角形和钝角三角形同样成立。
1．3 三角形的垂心到三边的距离之比：
如图，锐角△ABC的垂心为H，求HD∶HE∶HF．
在?Rt?AHF中，HF=AH?sin?∠FAH,
在?Rt?△ADB中，∠FAH+∠ABC=?π?2 ，
所以HF=AH?cos?∠ABC，
同理HF=AH?cos?∠ACB，
所以HE∶HF=?cos?C∶?cos?B；
同理HD∶HE=?cos?B∶?cos?A；
综上可得，HD∶HE∶HF=1?cos?A∶1?cos?B∶1?cos?C．
说明：对于△ABC，如果是直角三角形，则其垂心就是直角顶点，该直角三角形的垂心到两直角边的距离均为零，没有讨论的意义；如果是钝角三角形（不妨设C为钝角），则?cos?C是负值，而距离不可能是负值，故HD∶HE∶HF=1?cos?A∶1?cos?B∶1?cos?C不能成立。用类似于锐角三角形的方法不难证明：HD∶HE∶HF=1?cos?A∶1?cos?B∶1-?cos?C。显然，我们可以将非直角三角形的情况统一写成HD∶HE∶HF=1|?cos?A|∶1|?cos?B|∶1|?cos?C|.
二、 三角形的“五心”到三个顶点的距离之比
2．1 三角形的外心到三个顶点的距离之比：
三角形的外心是三边的中垂线的交点，由中垂线的性质知其到三顶点的距离相等，所以三角形的外心到三顶点的距离比为1∶1∶1.这里无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形都满足.
2．2 三角形的内心到三个顶点的距离之比：
如图，△ABC的内心为I，求IA∶IB∶IC．
在△IBC中，由正弦定理IB∶IC=?sin?∠ICB∶?sin?∠IBC,
由内心是角平分线交点，可得：
∠ICB=12∠ACB，∠IBC=12∠ABC，
所以IB∶IC=?sin?∠ACB2∶?sin?∠ABC2=1?sin?∠ABC2∶1?sin?∠ACB2
同理，在△IAC中可以得到IA∶IB=?sin?∠ABC2∶?sin?∠CAB2=1?sin?∠CAB2∶1?sin?∠ABC2
所以△ABC中，IA∶IB∶IC=1?sin?A2∶1?sin?B2∶1?sin?C2.
2．3 三角形的垂心到三个顶点的距离之比：
如图，锐角△ABC的垂心为H，求HA∶HB∶HC．
在△AHB中，由正弦定理知，HA∶HB=?sin?∠ABH:?sin?∠BAH,由AD⊥BC，BE⊥AC知，
∠ABH+∠BAC=?π?2，∠BAH+∠ABC=π2，
所以HA∶HB=?cos?∠BAC∶?cos?∠ABC.
在△BHC中，同理可得HB∶HC=??cos?∠ABC∶?cos?∠BCA，?
所以HA∶HB∶HC=?cos?∠BAC∶?cos?∠ABC∶?cos?∠BCA
即锐角△ABC的垂心为H ，则HA∶HB∶HC=?cos?A∶?cos?B∶?cos?C ．
同样，这里也涉及到，如果△ABC为直角三角形，则没有讨论的必要；如果△ABC为钝角三角形，则不难得到HA∶HB∶HC=|?cos?A|∶?|cos?B|∶?|cos?C|，此亦是非直角三角形的统一形式。
2．4 三角形的旁心到三个顶点的距离之比：
如图，△ABC的一个旁心为O（此处O是∠B的内角平∠A,∠C的外角平分线交点），求OA∶?OB∶?OC．
在△AOB中，∠ABO=∠ABC2,∠BAO=∠BAC2+?π?2，
由正弦定理知：OA∶OB=?sin?∠ABC2∶?sin?∠BAC2+?π?2即OA∶OB=1?cos?∠BAC2∶1?sin?∠ABC2，
在△BOC中，同理可得
OB∶OC=?sin?∠ACB2+?π?2∶?sin?∠ABC2即OB∶OC=1?sin?∠ABC2∶1?cos?∠ACB2；
所以OA∶OB∶OC=1?cos?∠BAC2∶?1?sin?∠ABC2∶1?cos?∠ACB2，?
即得△ABC的一个旁心为O（此处O是∠B的平分线与∠A,∠C的外角平分线的交点），则 OA∶OB∶OC=1?cos?A2∶1?cos?B2∶1?cos?C2．
同理我们也可以得到另两种情况：其一，△ABC的一个旁心为O（此处O是∠A的内角平分线与∠B,∠C的外角平分线交点）则OA∶OB∶OC=1?sin?A2∶1?cos?B2∶1?cos?C2；其二，△ABC的一个旁心为O（此处O是∠C的内角平分线与∠B，∠A的外角平分线交点）则OA∶OB∶OC=1?cos?A2∶1?cos?B2∶1?cos?C2.
2．5 三角形的重心到三个顶点的距离之比：
如图，G为△ABC的重心，求GA∶GB∶GC．
由重心的性质可以知道，
AG∶GD=BG∶GE=CG∶GC=2∶1，
所以，求GA∶GB∶GC即是求AD∶BE∶CF，
由中线长度公式：AD?2=12 (AB?2+AC?2)-BC?24
=8R?2?sin?C+8R?2?sin??2B-4R?2?sin??2A4=
(2?sin??2C+2?sin??2B-?sin??2A)R?2
BE?2=（2?sin??2A+2?sin??2C-?sin??2B）R?2，
CF?2=（2?sin??2A+2?sin??2B-?sin??2C）R?2，
即AD∶BE∶CF=2?sin??2C+2?sin??2B-?sin?2?A∶
2?sin??2A+2?sin??2C-?sin?2?B
∶
2?sin??2B+2?sin??2A-?sin?2?C
，
AG∶BG∶CG=2?sin??2C+2?sin??2B-?sin?2?A∶
2?sin??2A+2?sin??2C-?sin?2?B
∶
2?sin??2B+2?sin??2A-?sin?2?C
，
说明：本文中我们的结论都是用三角形的内角表示的。显然，由正弦定理或余弦定理也可以得到用边表示的结果。我们用角表示结论意在说明，这些结论只与三角形的形状有关，与三角形的大小无关。
注：①原题是一道选择题，因选择支不详而改成了填空题。为明确题意，加了“用角A、B、C表示”的要求。