集合是近代数学中的一个重要概念，集合思想已成为现代数学的理论基础，与高中数学的许多内容有着广泛的联系，中学数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素，用集合语言可以明了地表述数学概念，准确、简捷地进行数学推理。?
一、主要表现为一个概念是另一个概念的一般化，或此概念是彼概念的特殊情形。?
用集合的包含关系建立概念系统，可以培养学生善于将概念推广的研究精神，并能帮助学生对数学定理、法则、公式等的认识进一步系统化，从而提高学习质量。?
如：{正方体}?{长方体}?{直平行六面体}?{平行六面体}?{四棱柱}?{棱柱}；数列与函数两概念；互斥事件与对立事件两概念等。?
例1：给出四个命题：（1）各侧面是正方形的棱柱都是正棱柱，（2）对角面是全等矩形的六面体一定是长方体，（3）有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，（4）长方体一定是正四棱柱。其中正确命题的个数是：?
A.0 B.1 C.2 D.3?
分析：借助集合间的关系，明确各概念的联系和区别。此题选A。?
例1：数列{a?n}是等差数列，a?1=50,d=-0.6，求此数列的前n项和的最大值。?
分析：数列的定义域是正整数集（或它的有限子集{1、2、3、4、……n}），因此可把数列作为特殊函数理解。?
思路1：表示等差数列的孤立的点在直线上，因此可应用单调性。?
由a?1=50,d=-0.6,得an=-0.6n+50.6,令an≤0,有n≥84.3。又n∈N?+,则n≥85,即从第85项起以后各项均小于0。所以(Sn)??max?=S??84?=2108.4?
思路2：等差数列的前ｎ项和Sn是关于n的二次函数,可用二次函数的方法处理。?
Sn=50n+n(n-1)2×(-0.6)=-0.3n?2+50.3n,当n取接近于5036的自然数，即n=4时，Sn达到最大值S??84?=2108.4?
例2：若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标，求点P在圆x?2+y?2=16内的概率。（人教B版必修3，118页第3题）?
分析：记点P在圆x?2+y?2=16内为事件A，则A是基本事件空间Ω的子集。基本事件总数是6×6=36,A包含的基本事件有（1，1）（2，2）（1，3）（1，2）（2，3）（3，1）（3，2）（2，1）共8个，P(A)=836=29.?
二、有许多数学问题，它的解是由几个条件决定的，每一个条件都可以确定某种元素的一个集合，它们的交集的元素就是问题的解，对这样一类数学问题，我们常可以运用求交集的思想来试错与筛选。?
例3：求函数y=4-x(x+1)(x-1)的定义域。（人教B版必修1，86页第4题）?
分析：函数的定义域是指使式子有意义的集合，由多个式子经过代数运算而成的函数，求其定义域需取多个式子有意义的交集。?
由4-x≥0?(x+1)(x-1)≠0得x≤4?x≠±1?
所以函数的定义域是（-∞,-1）∪(-1,1)∪(1,4)。?
例4：已知函数y=log12(3x?2-ax+5)在［-1,+∞］上是减函数，求a的取值范围。?
分析：本题含着两层意思：3x?2-ax+5>0在［-1,+∞］上恒成立，t=3x?2-ax+5在［-1,+∞］上是增函数，实数a的范围是两者的交集。?
由题意得：a6≤-1，且满足x=-1时3x?2-ax+5>0,综上得-8 而有些需要分类讨论的问题，解题过程往往过于繁杂，此时运用补集的思想(即“正难则反”思想)去解答，常常可以简化讨论。?
例5：掷3枚硬币，至少出现一个正面向上的概率是（人教B版必修3，131页第2（3）题）?
分析：“至少出现一个正面向上”的事件含有１个向上，２个向上，３个向上３类可能，正面做答比较繁琐，可以从它的对立面出发，考虑“一次也不出现正面向上”即“全是反面”的概率。?
P=1-18=78。?
例6：如果一元二次方程ax?2+2x+1=0至少有一个负的实数根，确定这个结论成立的充要条件。（人教B版选修2―1，31页第6题）?
分析：“方程至少有一个负的实数根”有一个负根，两个负根两类可能，正面做答比较繁琐，可以从它的对立面出发，考虑“方程没有负的实数根”。?
由Δ=4-4a≥0有，a≤1。?
又-2a>0?1a>0a无解。?
因此，a≤1。?
布鲁纳说过，掌握数学思想可使数学问题更容易理解和记忆，领会数学思想是通向迁移大道的“光明之路”。本部分内容含有丰富的数学思想，例如数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想、正难则反的思想等等，显得十分活跃。在教学过程中，注意这些数学思想的挖掘、提炼和渗透，不仅可以帮助学生掌握知识的本质，驾驭问题的求解，而且对于开发学生的智力，培养学生的能力，优化学生的思维品质，提高课堂教学的效果，都具有十分重要的意义。