新的课程标准明确指出:初中数学课程应力求通过不同形式的自主探究活动,让学生体验数学发现和创造的历程,发展他们的创新意识,这就要求我们教师在课堂教学中要创造性地使用教材,而不是教教材;要求老师们,在教学中积极探索创建出适合学生的认知的平台,以此激活学生自主学习和合作探究的兴趣,从中体验和感悟数学。本文就《义务教育课程标准实验教科书数学》,北师大版九年级(上)第一章证明(二)中的一道习题来谈谈在中考复习过程中,个人对教材是如何变式与拓展的。
习题:已知如图,在△ABC中,AB=AC,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,求证:DE=DF。
一、 着眼于基础,拓展解法
发展学生思维能力是数学课堂教学的一项中心任务,也是新课程改革的要求。学生的思维品质的培养是发展思维的突破口,而学生思维活动始于问题之中,而问题的设置要立足于基础。
分析一:本题着重于基础,主要运用等腰三角形的性质以及全等三角形判定去解决问题。
思路1:按证明线段相等的常规方法,通过证明△BDE≌△CDF,证得:DE=DF;
思路2:通过添加辅助线,连接AD,利用等腰三角形的“三线合一”定理,先证明AD是角平分线,再证明DE=DF;
思路3:利用等腰三角形的轴对称性,说明△ABD≌△ACD,再利用面积法,证得:DE=DF;
在课本一题多解的基础上,在所学的知识的范围内,进一步探究数学问题的解法对培养学生的思维品质有重要作用。
二、 着眼于运用,拓展习题
著名的科学家爱因斯坦说:“提出一个问题往往比解决一个问题更重要,解决一个问题也许仅是数学上或实验上的技能而已,而提出新的问题,新的可能性,从新的角度去看旧的问题,都需要有创造性的想象力。”在课堂习题拓展设计中,问题要有基础性,又要有挑战性;问题要有开放性,解决的方法要有多样性。例如,在上题的基础上,我设计了如下的问题:
问题:若过点B作一腰上的高BG,通过测量,你发现线段:DE,DF,BG之间存在怎样的数量关系?并证明你的结论。
分析:在上述问题的基础上,增强问题的趣味性,让学生跃跃欲试的感觉,通过学生自己动手操作,很容易知道DE+DF=BG这一结论,然后,引导学生从目标出发,寻找求解的方法,让学生很好地体验了从感性思维到理性思维的过程,
这也符合学生思维习惯;
问题:若点D不是BC的中点,其它条件不变,DE,DF,BG之间的数量关系还成立吗?
分析:这一问题是在上述问题的基础上,从特殊到一般的转化过程,这需要学生在之前的认识基础上,大胆地提出自己的猜想,鼓励他们发表独特的见解,让学生研究、发现所存在的问题,以求在掌握基础知识的同时,增强思维的批判性。
思路一:“截长补短”: 如图1,过点D,作DM⊥BG,垂足为点M,构造矩形FDMG,通过证明△BDM≌△DBE从而证得BM=DE,所以DF+DE=DF+BM即DF+DE=MG+BM=BG;
思路二:“合二为一”: 如图2,过点B,作BN⊥DF,垂足为点N,构造矩形FNBG,通过证明△BDN≌△DBE从而证得BM=DE;
思路三:“面积法”: 如图3,连AD,∵S△ABC=12AC•BG
又∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AB•DE+12AC•DF,且AB=AC,
∴S△ABC=12AB•DE+12AC•DF=12AC•(DE+DF)
所以,∵S△ABC=12AC•BG=12AC•(DE+DF) 即:BG=DE+DF
思路四:“相似法”:如图3,易得△BDE∽△CBG;△CDF∽△CBG从而有BDBC=DEBG①,CDBC=DFBG②,将①+②即:BDBC+CDBC=DEBG+DFBG即BD+CDBC=DE+DFBG 则有
BCBC=DE+DFBG=1即BG=DE+DF
思路五:“三角函数法”如图3,∠ABC=ACB,有sin∠EBD=DEBD,sin∠DCF=DFCD,
sin∠BCG=BGBC,则有DEBD=DFCD=BGBC,据等比性质,有DE+DFBD+CD=BGBC即DE+DFBC=BGBC,则有BG=DE+DF,
通过上述的不同的解题的方法,开阔了学生的思维方式,让学生领悟到了数学的美。当点D是BC边上任意一点时(不与B,C重合),DE⊥AB,DF⊥AC,BG⊥AC,垂足分别为点E,F,G,可以得出一般的结论,即:DE+DF=BG。
三、 着眼于反思、拓展、体验
在一题多解的拓展中,学生们可看到不同的知识板块间的相关性,有利于形成知识链,还可以看到不同人思维的差异,还可以建立在独立思考基础上的合作交流意义更重大。一题多解的变式教学中,变式拓展实际上是课堂教学动态目标生成之需要,它强调课堂教学的设计和开发过程,重视师生活动的多样性,真正体现学生的主体性。
问题让学生提:学生在参与课堂教学活动过程中,总是带着自己的知识经验、思考、灵感,在复杂多变的教学情境的交互作用中,不断产生新的问题,这些新的问题实际上指向不同的目标群。
方法让学生悟:在数学课堂教学过程中,学生与教材及教师产生交互作用,形成了数学的知识与能力,发展了情感态度与思维品质,因此,解题方法与策略放手让学生观察、比较、分析,从而形成自己独特的见解,实现对新的数学问题思想与方法的心领神会。
思路让学生讲:学习理论认为:学习方法是学生在学习知识过程中动态生成的,而不是独立于事物的之外由教师传授而得,因此,数学的课堂教学力求在不断的变式拓展中,鼓励学生独立思考,创新思维,从而形成自己良好的数学思维品质。
错误让学生析:学生在解题的过程中会出现很多种的错误,学生解题中的错误是一种宝贵的课程资源,通过学生自己纠错,不仅找到了解题的症结所在,而且得出解题的一般规律,形成自己的正确认识,而这正是整合课程资源的价值趋向所在。
(王名勃 广东省深圳市宝安区新安中学 518101)