函数的单调性是函数的一个重要性质,本文通过对函数单调性的定义及性质的探讨，从而给出其在初等数学中的应用. 1． 函数单调性应用的常见几类问题 1．1 定义证明函数的单调性
利用函数单调性定义来判定函数的单调性，能更深刻的理解概念
例1 讨论f(x)=1-x?2在区间［-1,1］上的单调性
解：设x?1,x?2∈［-1,1］且x?1＜x?2即-1≤x?1＜x?2≤1
则f(x?1)-f(x?2)=1-x?2?1=1-x?2?1-(1-x?2?2)1-x?2?1+1-x?2?2=(x?2-x?1)(x?2+x?1)1-x?2?1+1-x?2?2
当x?1＞0，x?2＞0时x?1+x?2＞0那么f(x?1)＞f(x?2)
当x?1＜0，x?2＜0时x?1+x?2＜0那么f(x?1)＜f(x?2)
故f(x)=1-x?2在区间［-1,0］上为增函数f(x)=1-x?2在区间［0,1］上为减函数
1．2 利用函数单调性比较大小
比较两个含有幂指数的大小，往往显得比较复杂，把其转化为函数，利用函数的单调性就显的比较容易.
例2 比较200?6200?7与200?7200?6的大小
解:经过归纳，我们可以发现，当n=1,2时?nn+1＜(n+1)?n当n=3,4,5时nn+1＞(n+1)?n因此可以猜测当n＞3时nn+1＞(n+1)?n下面构造函数?f(x)，利用函数的单调性证明nn+1＞(n+1)?n
构造函数f(x)=xx+1(x+1)?x(x≥3)则有
f(x+1)-f(x)=(x+1)x+2(x+2)x+1-xx+1(x+1)?x=(x+1)2x+2-［x(x+2)］x+1(x+2)x+1(x+1)?x=(x?2+2x+1)x+1-(x?2+2x)x+1(x+2)x+1(x+1)?x＞0
所以函数f(x)在［3,+∞)∩Z上单调增加
因为f(3)=3?44?3=8164＞1 故当n＞3时，f(n)=nn+1(n+1)?n＞1
即nn+1＞(n+1)?n 所以200?6200?7＞200?7200?6
1．3 求函数最值
根据函数单调性的增加（或减少）的性质，来解决函数的最值问题，问题显的更加简洁，容易解决
例3 已知数列{a?n}中，a?1=1且点(a?n,a??n+1)在直线x+y-1=0上
（1） 求数列{a?n}的通项公式
（2） 若f(n)=1n+a?1+1n+a?2+…+1n+a?n(n∈N,n≥2)求f(n)的最小值
解:（1） 因为点(a?n,a??n+1)在直线x+y-1=0上
所以a??n+1-a?n=1 由{a?n}是首项和公差为1的等差数列 故a?n=n
（2） 因为f(n)=1n+1+1n+2+…+12n
f(n+1)-f(n)=1n+2+1n+3+…+12n+2-1n+1+…+12n
=12n+1+12n+2-1n+1=1(2n+1)(2n+2)>0
所以f(n)为增函数 由f(n)≥f(2)=12+1+12+2=712则f(n)??min=712
1．4 函数单调性在不等式中的应用
不等式是数学中重要组成部分，在实际应用中，最为简捷的方法，利用函数单调性来解决不等式中的问题.
例4 a,b∈R?+ a+b=1,求解a+1ab+1b的最值.
解 由a+1ab+1b=ab+2ab+2而0＜?ab≤a+b2?2=14
令ab=x0＜x≤14构造函数f(x)=x+2x+2则f′(x)=1-2x?2
显然当0＜x＜2时，f′(x)＜0又f(x)在x∈(0,2］上为严格单调减函数,f(x)在x∈0,14为减函数 当x∈0,14时,f(x)≥f14则x+2x+2≥14+8-2=254
所以ab+2ab-2≥254即a+1ab+1b≥254
1．5 利用单调性解决数列问题
数列{a?n}中的a?n是以n为自变量的函数，所以在解决有关数列的最值问题时，可考察其单调性.
例5 已知a?n=1n+1+1n+2+…+13n+1(n∈N?+),
若a?n＞2b-5恒成立,且b为自然数.求b的最大值
解 因为a?n=1n+1+1n+2+…+13n+1 a??n+1=1n+2+1n+3+…+13n+4
则a??n+1-a?n=13n+2+13n+3+13n+4-1n+1=13n+2+13n+4-23n+3
=23(n+1)(3n+2)(3n+4)＞0
所以a??n+1>a?n所以数列｛a?n｝是递增数列
{a?n}??min=a?1=12+13+14=1312
则由2b-5＜1312可解得b＜7324
2. 函数单调性在高考中的应用
函数是高中数学的重要内容,是高考重点考察的对象，也是常考不衰的考点不但考察函数单调性的概念，而且更主要的是考察其思想.
例6 （2005年全国卷Ⅱ）设函数f(x)=2｜x+1｜-｜x-1｜，求f(x)≥22使的取值范围？
解:要求f(x)≥22即2｜x+1｜-｜x-1｜≥22
又y=2?x是增函数 所以｜x+1｜-｜x-1｜≥32 (1)
1. 当x≥1时｜x+1｜-｜x-1｜=2时(1)恒成立
2. 当-1＜x＜1时｜x+1｜-｜x-1｜=2x(1)式化为2x≥32得x≥34
即34≤x＜134≤x＜1
3. 当x≤-1时｜x+1｜-｜x-1｜=-2 (1)式无解
综上x取值范围34,+∞
（责任编辑：朱干江）