数列是函数概念的延伸，是一种特殊的函数，从本质上讲研究函数的一切方法和结论都可以用于数列研究，只要注意“离散”带来的特点与区别，因此在数列解题教学中，可以尝试以函数的概念、表达式、图象、性质等为切入点，构建数列解题思路.
一、从函数概念切入，主动感悟数列问题
学习数列不仅包括对数列的通项公式，前n项和公式这些特殊函数的理解与分析，还包括数列概念本身所传承的数学思想与解题方法等，既然数列是特殊的函数，所以从函数概念切入，主动感悟数列问题所涉及的概念与技能，必能找到解决数列问题的通法.
例题1 （08上海理科卷）已知数列{a?n}满足:a??n+1?=a?n+c, a?nb>0)上的点，且a=|OP?1|2,a?2=|OP?2|2,…,a?n=?|OP?n|2?构成一个公差为d(d≠0)的等差数列，其中O是坐标原点，记S?n=a?1+a?2+…+a?n.对于给定的自然数n与点P?1(a，0)，当公差d变化时求S?n的最小值.
分析：S?n=n2(a2+a?n)，对于给定的n，当公差d变化时S?n取得最小值的充要条件是a?n取最小值即b2；也可以利用公式S?n=na2+n(n-1)2d，对于给定的n，当d变化时S?n为增函数，又b?2?≤a2+(n-1)d≤a2，所以d最小为b2-a2n-1代入即可.
三、从函数的性质切入，简化数列思维环节
从近几年高考对学生研究性学习能力考查情况来看，常设置一些由学生自己在探索过程中逐步认识和发现的数学性质或数学现象，如数列的周期性、最值、分组数列等概念在教材中就没有出现过，但已为人们所熟悉，如果在平时通过组织教学，能对这些知识进行合理消化，解题时就可以简化对问题的思维环节与过程，既巩固了函数的性质，又拓宽了学生解决数列问题的视野.
例题7 已知数列{a?n}对任意的n∈N*满足a??n+2?=a??n+1?-a?n，a?1=1，a?2=2，求S??2??005?.
分析：｛a?n｝为1，2，1，-1，-2，-1，1，…，猜测周期为6，实际上，a??n+2?=a??n+1?-a?n即函数视角下的f(x+2)=f(x+1)-?f(x)，?那么f(x+3)=f(x+2)-f(x+1)，代入得f(x+3)=-f(x)，易得周期T=6，又S?6=0，所以S??2005?=a?1.
例题8 （08上海文科卷）已知数列｛a?n｝：a?1=1，a?2=2，a?3=r，a??n+3?=a?n+2(n∈N*)，数列｛b?n｝：b?1=1，b?2=0，b?3=-1，b?4=0，b??n+4?=b?n(n∈N*)，记T?n=b?1a?1+b?2a?2+…+b?na?n.
（1） 若a?1+a?2+…+a??12?=64，求r的值；
（2） 求证：当n∈N*时，T??12n?=-4n；
（3） 略.
分析：｛b?n｝：1，0，-1，0，1，0，-1，0，…，周期为4；｛a?n｝：1，2，r，1+2，2+2，r+2，…，
通项公式为a??3k+1?=1+2k,a??3k+2?=2+2k,a??3k+3?=r+2k，k=0,1,2,3,…,周期性递增，周期3，k+1为该项所在组数（周期数）。第（1）题a?1+a?2+a?3=3+r，所以a?1+a?2+…+a??12?=3+r+（3+r+6）+（3+r+12）+（3+r+18）=48+4r，r=4.
第（2）题用数学归纳法证明：n=1时T??12?=a?1-a?3+a?5-a?7+a?9-a??11?=-4，等式成立.
假设n=k时等式成立即T??12k?=-4k，那么当n=k+1时，
T??12(k+1)?=T??12k?+a??12k+1?-a??12k+3?+a??12k+5?-a??12k+7?+a??12k+9?-a??12k+11?
=-4k+(1+2?4k)-(r+8k)+［2+2(4k+1)］-［1+2(4k+2)］+［r+2(4k+2)］-(8k+8)
=-4(k+1),等式成立.根据以上两步可以断定：当n∈N*时，T??12n?=-4n.
四、从函数的图像切入，形象透视数列问题
函数的图象具有形象直观的特征，以形助数，可以透视数列问题，帮助学生从本质上理解数学知识与具体的解题方法.进而把数学知识和技能内化为心智素质.
例题9 写出下列数列的通项公式：
（1） 数列2，4，6，8，10，…；（2） 数列0，2，4，6，8，10，…；
（3） 对称数列10，8，6，4，2，4，6，8，10，….
分析：（1） a?n=2n.
（2） a?n=1,(n=1).
2(n-1）,(n≥2).
（3） a?n=12-2n,(n1），若a?2=b?2
，a?4=b?4.（1） 比较a?1与b?1，a?3与b?3的大小关系；
（2） 猜想并证明a?n与b?n（n≥5）的大小关系.
分析：a?n=dn-2-2d，b?n=2q?n-2?，根据图象知，在x=2与x=4处
有两个交点，则a?1b?3并可猜想当n≥5时a?n