【摘 要】 鉴于Markowitz投资组合模型与线性回归模型之间的联系，可以在线性回归框架下解决投资组合问题，并作相关的统计与计量经济学检验。Markowitz投资组合权重是最优的，但并不保证该证券在分散组合的非系统性风险方面显著有效，线性回归模型的显著性检验告诉我们，只有最优组合权重通过了显著性检验的证券才对分散组合的非系统性风险有明显的贡献。在实例中，首先用线性回归的方法估计出最小方差点处的最优组合权重；其次通过显著性检验，把不显著的证券从组合中去掉，建立更加简洁有效的投资组合，降低管理成本；最后，使用邹氏预测检验对投资组合的动态性或最优组合权重的结构性变化进行检验，为投资组合的最佳调整时机选择提供一种思路。
【关键词】 投资组合模型； 线性回归模型； 非系统风险； 稳定性检验
引 言
1952年，美国经济学家、诺贝尔经济学奖得主Harry Markowitz发表了《资产组合的选择》，第一次以较严密的数理方法分析了人们为什么要构建资产组合以及如何建立有效的资产组合，为资产组合策略提供了理论基础。
对于最优投资组合权重的估计方法，许多学者作了进一步研究。张立山、张晓红用线性规划单纯形法解决证券投资组合的优化问题。万中等人构造了外点罚函数，采用Frank-Wolf算法解决这一问题。但随着证券种类以及数目的不断增多，当线性规划模型的决策变量数目增加时，增大了计算工作量，最优投资比例的确定变得非常困难。徐绪松、陈彦斌用模拟退火算法求解基于绝对离差的证券投资组合模型。杨利、李玉娟提出了一种改进的模拟退火算法，应用惩罚函数法将Markowitz投资组合模型转化成无约束的优化问题，并对基本的模拟退火法的关键过程和参数进行了优化，解决了模拟退火法初始温度和解的产生机制问题，达到了速度和精度的平衡，提高了算法的效率。由于理论最小迭代次数无法确定，存在着计算效率偏低的问题，仍需要进一步研究。
从Markowitz的投资组合模型开始，资产组合均值-方差有效性的问题对于投资实务具有重要意义，理论研究者在这方面做了大量检验工作。给定一个特定的投资组合，其组成部分或投资组合比例是已知的，传统上，把检验资产组合的有效性问题转化为检验资本资产定价模型的有效性。Gibbons（1982）首先在多元统计框架下检验资产组合的有效性。在存在无风险 资产的情况下 ， Gibbons、Ross &Shanken（1989）提供了有效检验方法解决了资产组合有效性精确检验的问题。在不存在无风险资产的情况下， Zhou（1991）应用特征值检验来检验资产组合有效性。Harvey & Zhou（1990） 使用贝叶斯推断来检验投资组合的有效性。
目前有许多方法可以用来估计投资组合的最优权重，但这些方法大多非常复杂，如果能将投资组合问题转化为线性回归问题，借助技术上成熟的最小二乘法估计最优组合权重，计算量会大幅下降，且估计精度提高。已有的对投资组合的有效性检验主要是针对整个市场的，对于个别投资者则更关注自己所持有的组合是否有效或持有由哪些资产组成的组合更加有效，因为除了指数基金或大型投资基金能够实现非系统风险的充分分散，对于大多数中小投资者是很难做到的。所以研究由少数股票组成的投资组合是否有效具有实际意义。投资组合的有效性主要在于是否能够有效分散非系统性的风险，这取决于各组成证券在组合中的作用是否有效或显著。另外，随着经济结构和企业经营的变化，人们的预期发生变化，投资组合也必须随之做出调整，投资组合呈现出动态性或时效性特点，过去是最优的组合权重，现在未必是最优的，如果调整，需要支付一定的成本，且频繁调整会造成投资效率的下降；不调整，或错过了最佳调整时机，则可能无法适应市场的结构变化，形成投资损失，因此投资组合调整的时机选择也是投资者关注的一个问题。
一、Markowitz投资组合模型与线性回归模型
投资者是利益驱动和风险厌恶的，总是期望收益率越高越好，而方差（风险）越小越好，所以投资者主要关心投资的收益率和方差：
Markowitz投资组合模型以收益率的期望来衡量未来收益率的水平，以收益率的方差来衡量收益率的不确定性，证券组合的特征完全由期望收益率和收益率的方差来描述。其模型如下：
可得出（4）式的最优权重βj，j=1，2，…，K-1可以看作以rk-rp为被解释变量，以rk-rj，j=1,2，…，K-1作为解释变量的一个不含截距项的多元线性回归模型（5）式的回归系数的参数估计值。由于该回归模型的设定比较特殊，要求第K只证券必须存在于组合中，为确保第K只证券进入组合，在实际中，可取证券收益率的样本均值与标准差之比最大者作为第K只证券。
rik-rp=β1（rik-ri1）+β2（rik-ri2）+…+βk-1（rik-ri，k-1）+μi （5）
对于最小方差点处的投资组合，相当于把rp看作一个需要估计的未知参数，此时可令截距项的β0=rp，得到含截距项的多元线性回归模型
rik=β0+β1（rik-ri1）+β2（rik-ri2）+…+βk-1（rik-ri，k-1）+μi （6）
其中，μi 为随机误差项，满足回归模型基本假设，是具有零均值、同方差、无序列相关且服从正态分布的随机变量。
前面的推导过程阐述了Markowitz投资组合模型与多元线性回归模型的等价关系。事实上，也可以这样来理解Markowitz投资组合模型，即寻找一组最优的投资组合权重β1，β2，…，βk，使得该组合的收益率尽可能接近投资者的预期收益率，有如下表达式
rp=β1ri1+β2ri2+…+βkrik+μi
将约束条件βk=1-β1-β2-…-βk-1代入上式，整理后可得
rik-rp=β1（rik-ri1）+β2（rik-ri2）+…+βk-1（rik-ri，k-1）+μi
这与（5）式相同，若假设rp未知，也可得到（6）式。
这样，就把一个Markowitz投资组合问题转化为一个简单的多元线性回归问题，在多元线性回归框架下求解投资组合问题，并且可以对回归模型的最优组合权重作统计检验。
二、实例
（一）样本数据
为便于读者对相关结果进行验证，所以仅选用3只证券，20个样本数据，样本数据见表1，协方差矩阵见表2。在本例中，简单地假设：投资者对各证券在未来持有期内的预期收益率和协方差矩阵与样本期内的相同；当然，这种假设在实际中是不可取的，因为在实际中预期收益率和协方差矩阵需要投资者根据掌握的信息进行预测和判断。
（二）有效前沿上的投资组合
在此仅对最小方差点处的投资组合进行分析。首先采用GAMS23.4软件，利用样本的均值和协方差信息建立Markowitz模型并求解，在最小方差点求解出最优组合权重，以及收益与风险，GAMS程序附在文章末尾，得到的结果与下面的最小二乘回归结果完全相同。
接下来，选用均值与标准差之比最大的r3作为被解释变量，以r3-r1、r3-r2作为解释变量，用Eviews6.0软件作含截距项的最小二乘回归，得到参数估计结果如表3。
最小二乘回归结果表明：在最小方差点处，第一只证券的最优权重-0.4538；第二只证券的权重0.7820；第三只证券的权重0.6718。该组合可以获得rp=13.82%的期望收益，但要承担 σp=0.04368的风险。第一、二只证券的权重都很显著，对于第三只证券，在选择被解释变量时已经保证了它以非常大的可能性存在于组合中，但仍然可以做如下的受约束线性回归假设检验：
H0：1-β1-β2=0
检验统计量为
其中，RSSU，RSSR分别表示无约束与受约束回归下的残差平方和，n表示样本容量，KU，KR分别表示无约束与受约束回归模型中的解释变量个数。
线性约束的检验结果为F（1，17）=13.15，P值为0.0021，小于通常的显著性水平0.05，所以第三只证券的权重β3显著，对于分散投资组合的非系统风险具有显著的贡献。
接下来使用邹氏预测检验（Chow Forecast Test） ，检验本期相对于前期，最优组合权重是否发生了显著的结构性变化，如果检验显著，则认为与前期相比，本期最优组合权重发生了显著的结构变化，应当根据本期回归结果调整每只证券在投资组合中的比例；否则，不做任何调整，仍保持原投资组合比例。具体检验过程如下：
第一步，对结构没有发生变化时的情形作回归分析，即前n-1个样本作回归，记残差平方和为RSS1；第二步，对假设结构发生变化时的情形作回归分析，即所有n个样本作回归，记残差平方和为RSSR；第三步，计算F检验统计量值
其中，n为样本容量，k为回归方程中包含的解释变量的个数。
第四步，计算大于F统计量的概率，即P值；第五步，检验结论，假如P值小于通常的显著水平0.05，认为在第n期最优组合权重发生了显著的结构性变化，应当根据第n期的回归结果重新调整每只证券在最优组合中的比重。
在这个案例中，对最后一期，即第20个样本点作邹氏预测检验（Chow Forecast Test），由（7）式得F（1，16）= 0.372361，P值为0.5503，大于通常的显著水平0.05，不显著，所以认为在最后一期最优组合权重与前期相比没有发生显著的结构性变化，不需要重新调整每只证券在组合中的相对比重。
三、结论
首先，通过推导得出Markowitz投资组合模型与线性回归模型之间存在等价关系，这使得可以用线性回归方法求解最优组合权重；其次，尽管Markowitz模型的组合权重是最优的，但并不一定都能够显著分散组合的非系统性风险，根据线性回归模型，只有最优权重通过了显著性检验的证券，对于分散非系统风险才有显著的贡献，所以应把组合中权重不显著的证券识别出来并从组合中剔除出去，建立更加精简高效的组合；最后，投资组合随着人们对未来预期的变化呈现出动态性或时效性，过去是最优的组合，现在未必是最优的，但不一定必须频繁调整，在邹氏预测检验下，只有当组合的最优权重发生了显著的结构性变化，才需要进行必要的调整。
用线性回归模型求解投资组合问题也存在一定的局限性，因为线性回归模型主要依据各证券收益率的样本数据，即历史信息，而未来持有期内的预期收益率和协方差矩阵与样本期内的可能存在差异。在这种情况下可以想到的一种解决思路是，首先根据投资者掌握的信息，对未来持有期内有可能选入组合中的各证券的预期收益率和协方差矩阵进行预测；其次，假定各证券未来收益率服从预测出的收益率和协方差矩阵这样的多元正态分布，使用蒙特卡洛模拟法模拟出适当数量的各证券收益率数据；最后，以模拟数据为样本，使用前面介绍的方法估计最优组合权重并进行相关统计检验。
附： Markowitz最优投资组合模型的GAMS程序
set i /r1， r2， r3 /；
alias （i，j）；
table cov（i，j）
r1 r2 r3
r1 0.022588161 0.011142213 0.004828615
r2 0.011142213 0.006393821 0.002624485
r3 0.004828615 0.002624485 0.002747455；
parameter r（i） /r1 -0.1544735
r2 0.045182
r3 0.0488175/；
variable b（i）；
variable rp，sigm2，sigm；
equation obj，eq1，eq2，eq3；
obj.. sigm2=e=sum（i，sum（j，b（i）*cov（i，j）*b（j）））；
eq1.. sum（i，b（i））=e=1；
eq2.. sum（i，r（i）*b（i））=e=rp；
eq3.. sigm=e=sigm2**0.5；
model mymod /all/；
*rp.fx=0.2；
solve mymod minimizing sigm2 using nlp；
【参考文献】
［1］ Harry Markowitz. Portfolio Selection［J］. The Journal of Finance， 1952，7（l）:77-91.
［2］ 张立山，张晓红.线性规划在风险资产投资组合中的应用［J］.职业时空，2008（4）:36.
［3］ 万中，孟福真，郝爱云，等.证券投资组合问题的新模型和算法［J］.湖南大学学报（自然科学版）， 2008，35（10）：85-88.
［4］ 徐绪松，陈彦斌.绝对离差证券组合投资模型及其模拟退火算法［J］.管理科学学报，2002，5（3）:79-85.
［5］ 杨利，李玉娟.基于改进模拟退火法的证券投资组合优化［J］.消费导刊，2007（7）：21-22.
［6］ Gibbons， M. R..Multivariate Tests of Financial Models: A new approach［J］.Journal of financial economics，1982（10）:3-27.
［7］ Gibbons， M. R.， S. A. Ross， and J. Shanken.A Test of the Efficiencyof a Given Portfolio［J］. Econometrica，1989（57）:1121-1152.
［8］ Guofu Zhou.Small Sample Tests of Portfolio Efficiency［J］.Journal of Financial Economics，1991（30）:165-191.
［9］ Harvey，C. R. and G. Zhou. Bayesian Inference in Asset Pricing Tests［J］. Journal of Financial Economics，1990（26）:221-254.