一、辨析概率模型，直接计算 例1（2011年福建卷）如图1，矩形ABCD中，点E为边CD的中点。 若在矩形ABCD内部随机取一个点Q， 则点Q取自△ABE内部
的概率等于（）
?A.?14?B.?13
?C.?12?D.?23
分析由于在矩形ABCD内部随机取一个点Q的可能性相等，且结果是有无穷多个，它是一个与面积有关的几何概型。
解因为S△ABE?＝12|AB|•|BC|，S矩形?＝?|AB|•|BC|?，则点Q取自△ABE内部的概率?p＝S△ABE?S矩形??＝12，故答案选?C?。
点评对简单的概率问题首先要能迅速判断出是古典概型还是几何概型，再套用公式解决。求几何概型事件的概率是高考中的一个新考点，解决问题的关键是要根据条件构造出与随机事件对应的几何图形，找出利用图形的几何度量如长度、面积、体积等。
二、正确运用列举法，直接求解
为了得到基本事件的结果总数，常用树状图或列表法，先列出1次试验可能出现不同的结果，然后求一共有多少种不同的结果数，所求概率的事件包含基本事件的个数，最后根据古典概型的概率计算公式求得。
例2《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 ?mg/100 ml(不含80)之间，属于酒后驾车；在80 mg/100 ml(含80)以上时，属醉酒驾车，对于酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员公安机关将给予不同程度的处罚。?
据《法制晚报》报道，2010年8月1日至8月28日，某市交管部门共抽查了1 000辆车，查出酒后驾车和
醉酒驾车的驾驶员80人，图2是对这80人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图。
(Ⅰ)根据频率分布直方图完成下表：
酒精含量
(单位：?mg/100 ml?)［20，30）［30，40）［40，50）［50，60）［60，70）［70，80）［80，90）［90，100）
人数
(Ⅱ)根据上述数据，求此次抽查的1 000人中属于醉酒驾车的概率；
(Ⅲ)若用分层抽样的方法从血液酒精浓度在［70，90)范围内的驾驶员中抽取一个容量为5的样本，并将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率。
分析求一个随机事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验，可以用事件发生的频率近似值作为它的概率。根据第(Ⅰ)问确定分层抽样确定在［70，90)范围内的驾驶员的人数抽样比，再确定5人这一样本中有几个，可以利用序数对列举所有的结果，并通过古典概型的概率计算公式求出恰有1人属于醉酒驾车的概率。
解(Ⅰ)
酒精含量
(单位：?mg/100 ml?)［20，30）［30，40）［40，50）［50，60）［60，70）［70，80）［80，90）［90，100）
人数121616481284
(Ⅱ)P=(8+4)÷1000=0.012。
(Ⅲ)因为血液酒精浓度在［70，80)范围内有12人，［80，90)范围内有8人，要抽取一个容量为5的样本，?［70，80)?内范围内应抽3人，记为a,b,c，［80，90)范围内应抽2人，记为d,e，则从总体中任取2人的所有情况，画树状图如下：
从图中可以看出，从总体中任取2人的所有情况为{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,c},{b,d},{b,e},{c,d},{c,e},{d,e}，恰有一人的血液酒精浓度在［80，90)范围内的情况有{a,d},{a,e},{b,d},{b,e},{c,d},{c,e}，共6种，设“恰有1人属于醉酒驾车”为事件A，则P(A)=610=35。
点评列举是处理古典概型的基本方法，列举时要注意分清“有序”还是“无序”，按一定次序进行列举，防止重复和遗漏。采用树状图、列表等直观手段是防止重复与遗漏的有效方法。
三、分清事件构成，合理转化
一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常试验中的某一事件A，由几个基本事件组成。若对事件的构成分不清，概念难以转化，则解题容易导致错误。
例3（江西省南昌市2011届高三数学联考）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止。设甲在每局中获胜的概率为p(p>12)，且各局胜负相互独立。已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59。
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ。
分析根据题意比赛停止的条件是“有一人比对方多2分或打满6局”，因此比赛停止时已比赛的局数只能是2，4，6。“第二局比赛结束比赛停止”可能是甲连胜2局，也可能是乙连胜2局；同样，可以看成前两局没有结束，后两局结束；“第六局比赛结束比赛停止”，则是第一、二局没有结束，且第三、四局没有结束，且第五、六局不管结果是怎样，都是到第六局都要结束。
解（Ⅰ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束。
所以有p?2+(1－p)?2=59，解得p=23或p=13。
因为p>12， 所以p=23。
（Ⅱ）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6。设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为59。若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响。从而有P(ξ=2)=59，P(ξ=4)=(1－59)(59)=2081， P(ξ=6)=(1－59)(1－59)•1=1681。下略。
点评解决概率问题，关键是确定事件性质，弄清它是由哪些事件构成，判断事件是互斥、还是相互独立，然后正确运用概率计算公式求解。
四、利用“正难则反”策略，逆向求解
例4(2011年江西省新余市高三模拟) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列表：
喜爱打篮球 不喜爱打篮球合计
男生5
女生10
合计 ５０
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35。
（Ⅰ）请将上面的列表补充完整；
（Ⅱ）是否有99． 5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（Ⅲ）已知喜爱打篮球的10位女生中，A?1,A?2,A?3还喜欢打羽毛球，B?1,B?2,B?3还喜欢打乒乓球，C?1,C?2还喜欢踢足球，现在从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的8位女生中各选出1名进行其他方面的调查，求女生B?1和C?2不全被选中的概率。
下面的临界值表供参考：
P(χ?2≥k)0．150．100．050．0250．0100．0050．001
2．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828
（参考公式：χ?2=n(ad－bc)?2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中?n=a+b+c+d。?）
分析（Ⅲ）由于事件“女生B?1和C?2不全被选中”含有“B?1被选中且C?2不被选中”“B?1不被选中且C?2被选中”“B?1与C?2都不被选中”，但其对立事件为“B?1和C?2全被选中”，只有一种情况，所以对事件的概率公式P(A)=1－P(?A?)求解方便。
解（Ⅰ）（Ⅱ）（略）；（Ⅲ）从10位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件数为3×3×2=18（种），用M表示“B?1、C?2不全被选中”这一事件，则其对立事件?M?表示“B?1和C?2全被选中”这一事件。由于?M?含有的基本事件数为?C??1?3=3（种），所以P(?M?)=318=16， 由对立事件的概率公式得P(M)=1－P(?M?)=1－16=56。
点评先求事件的对立事件的概率，根据“正难则反”的解题策略，可以大大简化繁琐的计算。
五、数形结合
例5（2011年江西卷）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书。则小波周末不在家看书的概率为________。
图2
分析 如图2，到圆心的距离大于12的点是以12为半径的圆外部的点，到圆心的距离小于14的点是以14为半径的圆内的点，作出图形，利用几何概型知识即可获解。
解设A={小波周末去看电影}，B={小波周末去打篮球}，C={小波周末在家看书}，D={小波周末不在家看书}，则如图2所示：
P(D)=1－P(C)=1－(12)?2?π?－(14)?2?π??π?=1316。
点评几何概率问题与几何知识紧密联系，挖掘出题目的几何性质，结合图像，利用数形结合思想，可使这类问题巧妙地解决。
（作者单位：江西省南康中学）