摘要：拱桥计算中的“弹性中心”是桥梁工程课程教学的一个重点和难点。以理论知识联系实际应用、从基础课到专业课的角度研究“弹性中心”的教学方法，从力法的基本思想引入基本概念，在弹性压缩、拱轴线偏离、温度变化和拱脚变位等不同荷载作用下，采用“弹性中心”求解无铰拱结构内力的特点着手归纳和总结，在给学生教学时可将基本概念由知识点上升到理论思维和解决问题的能力上。经实践检验这种教学方法具有良好的效果，在强化学生知识的同时还可培养学生的能力。
关键词：桥梁工程；拱桥；弹性中心；教学方法
作者简介：易壮鹏（1979-），男，湖南望城人，长沙理工大学土木与建筑学院，讲师；曾有艺（1979-），男，广西南宁人，长沙理工大学土木与建筑学院，讲师。（湖南长沙410004)
基金项目：本文系湖南省教研教改课题“土木工程专业结构设计课程群教学改革与学生创新精神培养的研究与实践”的研究成果。
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2012）07-0073-02
桥梁工程是一门专业性非常强的课程，拱桥计算的“弹性中心”概念充分体现了力学基本概念与桥梁专业知识的结合。笔者在给学生讲授这一知识点时，运用综合与归纳的手段进行理论知识与实际应用的关联、基础课程与专业课程的衔接，让学生掌握这一知识点，使学生具备相关的思维和能力。
一、“弹性中心”的基本概念
“弹性中心”是弹性体的受力中心，它是一个把结构从力学角度进行设计和计算的重要中心点，如大型汽轮发电机转子和自行火炮的弹性中心是控制设计的重要参数。桥梁工程中的无铰拱作为一个超静定结构，其弹性中心是结构的受力中心点，它在计算无铰拱时可使求解方程大为简化，各种作用在结构上的外荷载均可以转换为弹性中心上的赘余力，进而得到结构的内力分布特点。
二、悬链线无铰拱弹性中心的引入
悬链线无铰拱是一个三次超静定结构，在对其内力进行求解时采用力法，在自重、汽车、人群、温度、混凝土收缩徐变以及基础变形等外部荷载作用引起的内力时，为了简化计算工作，就需要引入无铰拱弹性中心的概念。其主要目的是将力法求解的赘余力方程由一个三元一次方程变为三个一元一次方程，实现求解方程的解耦，降低求解的难度，简化求解的过程。
在用力法求解对称无铰拱在外荷载作用下的内力时可以取悬臂曲梁和简支曲梁两种基本结构。当取悬臂曲梁为基本结构时，外荷载将在主拱拱顶截面产生三个赘余力X1（弯矩）、X2（轴力）、X3（剪力），且前两个是正对称的，第三个是反对称的。对于基本方程的常变位，[1]当i=j时称为主系数，i≠j时称为副系数，它们与结构本身相关，不同的基本结构对应不同的常变位。由结构的对称性可知除外，其余的副系数均为零。如能使δ12和δ21也等于零，求解方程由多元一次方程组变为多个一元一次方程，难度大大降低，求解的程序和思路也变得简单。这时就需要引入“弹性中心”这个重要概念，对于采用悬臂曲梁或简支曲梁为基本结构的无铰拱，它是弹性体的几何中心，引入过程非常自然。
取悬臂曲梁为基本结构时，由结构的对称性可知弹性中心在对称轴上，离拱顶的距离可以假设为ys。此处特别注意的是：坐标系、赘余力及内力的方向，为计算方便分别取用以拱顶和弹性中心为原点的两个坐标系，其中水平轴均以向左为正，竖轴方向则刚好相反；弯矩以使拱下缘受拉为正，剪力以绕隔离体逆时针方向为正，轴力以压力为正。将与赘余力对应的单位力作用在弹性中心引起的内力绘出，带入到δ12或δ21等于零的表达式，同时将拱轴线方程带入并积分可得ys，这样就确定了弹性中心的位置。这种确定弹性中心位置的方法对任意拱轴线的无铰拱均适应，而对于教材中讲述的等截面悬链线无铰拱可简化为与矢高的关系，其中系数α1只与拱轴系数m有关，可以通过拱桥设计手册的附录直接查到。[2，3]
三、“弹性中心”在拱桥内力计算中的应用
外荷载作用于无铰拱桥引起的内力均可转换为弹性中心上的赘余力来求解，只是不同荷载作用下基本结构的变形协调方程不同。下面就以拱轴线弹性压缩、拱轴线与压力线偏离、温度变化和基础变形四种外部荷载作用下无铰拱内力的求解过程来说明弹性中心的应用。
1.弹性压缩引起的内力
主拱圈在恒载作用下会出现弹性压缩，表现为拱轴线长度缩短，引起拱圈内力的变化。以悬链线无铰拱为例，弹性中心求解取悬臂曲梁为基本结构，弹性压缩将在弹性中心上产生三个赘余力。基本方程的三个主系数与结构本身有关，而对应的三个载变位 中，由于弹性压缩沿拱轴的分布规律和结构对称性，弹性中心的转角和竖向位移为零，对应的弯矩和剪力赘余力等于零，弹性压缩引起弹性中心的变形只有主拱圈沿水平方向的缩短，对应的赘余力为水平拉力S。
主拱圈沿水平方向的压缩量可通过主拱微段ds在轴力作用下的缩短量在水平方向的投影进行积分求得，对应常变位δ22用结构力学方法求解，将单位力引起的内力直接带入并沿跨径范围内积分可得，再根据变形协调条件求解即可得到S。对于悬链线无铰拱它可简化为与拱顶水平推力Hg的关系，其中：为常变位计算时考虑轴力影响后直接通过弯矩来进行修正的系数项；则为水平压缩变形与常变位中弯矩引起分量的比例系数项，二者均可通过拱桥设计手册附录查得。主拱圈的内力可用静力平衡条件得到。
计算结果表明，弹性压缩对主拱内力的影响非常小，一般在1%～2%左右，可以忽略。在跨径较小且矢跨比较大的情况下，在进行设计时可不计弹性压缩的影响。因此在推导实腹式悬链线无铰拱拱轴方程时，不考虑弹性压缩是一个重要的基本假定。一些因素影响很小，从工程的角度讲忽略其影响是完全可行的，而且可对严谨的数学、力学方程推导大大简化。
2.拱轴线与压力线偏离引起的内力
空腹式拱桥选取悬链线作为拱轴线时，采用“五点重合法”来计算拱轴系数，即拱轴线与相同跨径、矢高三铰拱的恒载压力线在拱顶、拱脚和四分点保持五点重合，其他截面二者存在偏离。一般从拱顶到四分点压力线在拱轴线之上；而从四分点到拱脚压力线在拱轴线之下，偏离值沿拱轴类似于一个正弦波。
在静定三铰拱中，偏离产生的附加弯矩值Mp可以用拱顶推力与偏离值的乘积表示。而对于超静定的空腹式无铰拱，附加弯矩的求解不能用静定三铰拱的处理办法，应以Mp作为外荷载来求主拱圈的内力值。由于Mp在拱跨范围内是正对称的，它在弹性中心上引起的三个赘余力中，剪力由于其反对称性等于零，只剩下弯矩和轴力，这样三个一元一次变形协调方程简化为两个。这两个赘余力求出后，将它们与Mp在基本结构上引起的内力进行叠加，就可以得到由拱轴线偏离引起的空腹式无铰拱的内力。
此处讲授时需要加以强调的是，“五点重合法”确定的无铰拱的拱轴线与恒载压力线并不存在五点重合的关系。而通过弹性中心求得的拱轴线偏离引起的偏离弯矩在拱脚位置为正，在拱顶位置为负，这与两个截面控制弯矩的符号刚好相反，从理论上说明拱轴线与压力线偏离引起的附加弯矩对拱脚、拱顶都是有利的，空腹式无铰拱采用悬链线比采用恒载压力线更为合理。
3.温度变化引起的内力
在弹性中心上由温度升降引起的三个赘余力中，结构的对称性和温度变化的均匀性使得弯矩和剪力等于零，只需求解非零赘余力Ht，它是一对水平力。温度变化引起拱轴沿跨径在水平方向的变形是以合龙温度为基准的温度变化值引起的拱轴的伸长或缩短，由变形协调条件通过和可以得到Ht，再由静力平衡条件计算拱中任意截面的温度附加内力。
在讲述温度内力的计算时，强调规定温度以上升为正、下降为负，这样温度上升在拱脚引起正弯矩，在拱顶引起负弯矩，温度下降刚好相反。且不管是升温还是降温与弹性中心同高度截面的附加弯矩恒为零，这与温度内力计算公式一致，计算结果也证明了这一点。另外：混凝土收缩变形所产生的使拱圈开裂的附加内力等效为温度下降，不同地区和不同浇筑方法采用不同的等效降温值；混凝土徐变的影响在计算拱圈温度变化和混凝土收缩时通过乘以一个折减系数予以修正。
4.拱脚变位引起的内力
对于拱桥，地基沉降、土体变形、连拱效应及地震荷载等均会引起墩台的变形，并在拱圈内产生附加内力。拱脚的变位可以归结为水平位移、垂直位移（沉降或上升）和转动三种，它们在拱内引起的内力不相同，均可以采用力法进行求解。在基本结构上，拱脚的水平位移使得两个拱脚沿水平方向相对靠拢或分离，在弹性中心上仅产生水平方向的赘余力，且拱脚水平位移以向右为正；拱脚的垂直沉降或上升在弹性中心上仅产生竖直方向的赘余力，且以向下为正；拱脚的转动则使弹性中心除了出现相同大小的转动外，还将产生水平位移和竖向位移，其大小可通过几何关系确定，因而弹性中心上面将同时出现三个赘余力，其中转角以沿顺时针为正。各种变位引起的赘余力通过变形协调条件求得之后，即可根据静力平衡条件计算任意截面的内力。
在讲述本知识点时需强调三种变位分别引起不同的赘余力，但求解方法可以统一到一个求解思路上来，将变位与引起的赘余力理顺清楚，把握它们之间正方向的一致性。
四、“弹性中心”方法总结及对学生的启发
1.方法总结
“弹性中心”作为悬链线无铰拱的一个基本概念，在计算外荷载产生的内力时可以发现，各种不同的荷载均可以转化为弹性中心上面的赘余力，进而求得结构的内力。弹性压缩、拱轴线偏离、温度变化和拱脚变位引起弹性中心的变形和引起的赘余力虽然在形式上不同，但是在力法求解的本质上是一致的。因此可以进一步拓展这种观点，在无铰拱中无论外部荷载的表现形式如何，从弹性中心法求解的视角来看均可以转换为弹性中心上面的赘余力，最终在基本结构上得到任意截面由对应外荷载引起的截面内力。这种思路有利于提高学生举一反三的能力，基于无铰拱的弹性中心计算一种荷载可以联想到多种荷载，这样就由掌握知识达到掌握方法、锻炼能力的层次。
2.启发式教学思维
无铰拱的弹性中心求解是力法在桥梁工程中的实践与应用，其求解过程具有力法的基本特点，即选取基本结构、计算赘余力和计算结构内力等几个基本步骤，但是在求解具体问题时又有自身的特点，这主要体现在求弹性中心的位置上。力法是弹性中心计算的基础，其思维直接指导整个求解过程，弹性中心求解丰富了力法的内涵，它们之间是基本方法与具体应用的关系。
通过弹性中心求解无铰拱的内力还可进一步总结力法在桥梁工程中的应用，同力法在连续梁、连续刚构等梁式桥中的应用一起，综合与归纳桥梁工程中的这一知识点，更进一步巩固和加深对这一方法的认识，将知识转换为思维和能力。
3.教学方法检验
在本科生桥梁工程专业课程的教学中采用这种教学方法，笔者发现学生能够在掌握好悬链线无铰拱在各种荷载作用下内力计算方法的同时，能从整体上把握好这种方法的应用，理解较为深刻。在期末考试中，将温度变化引起的内力作为计算题来综合考察学生对弹性中心的掌握程度，80%的学生能很好地掌握这一方法，得到了满分；仅20%的学生存在一定的理解问题，求解时出现算错常变位和混淆赘余力方向等的错误。考试的结果说明了采用这种教学方法很成功，它不仅有利于学生掌握好知识，还可以培养学生分析及解决问题的能力。
五、结论
桥梁工程课程中的无铰拱“弹性中心”教学方法，体现了从力学基础课到桥梁工程专业课的一脉相承的统一性。教师在讲授时既强调弹性中心求解是力法这一基本力学知识在桥梁工程中具体应用的特殊性，又强调这是力法基本求解思路的拓展，阐述整体性思维，对提高桥梁专业课程的教学水平具有重要的意义。
参考文献：
[1]邵旭东.桥梁工程(第二版)[M].北京:人民交通出版社,2007.
[2]顾懋清,石绍甫.公路桥涵设计手册――拱桥(上册)[M].北京:人民交通出版社,1994.
[3]顾安邦,孙国柱.公路桥涵设计手册――拱桥(下册)[M].北京:人民交通出版社,1994.
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[5]易壮鹏.“桥梁工程”课程设计教学方法研究[J].中国电力教育,
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[6]汪时机,李贤,蒋运忠.《桥梁工程》课程教学存在的问题与对策[J].西南师范大学学报(自然科学版),2010,(2):273-276.
（责任编辑：宋秀丽）