分析应用题是解答的关键。怎样解一元一次方程应用题呢?关键是找出能够代表题目全部含义的等量关系。一般地说,题目中所给的关系式无外乎以两种形式出现:一种是题目中直接告诉的。如:和、差、倍、分问题;图形方程;人员调配;数字问题等;另一种是隐含在题目中字里行间的。如:行程性问题中的相遇有:两者走的路程之和=总路程,追击问题中的:起始距离+被追者走的路程=追击者路程。工程问题:两人完成工作量之和=总工作量,起始完成工作量+慢者工作量=快者工作量,浓度配制问题:配制前溶质(剂)=配制后的溶质(剂),配制前溶质(剂)+加入溶质(剂)=配制后溶质(剂),系数问题中,设其中一个量为x,然后用含x的代数式表示另一个未知量,根据题意,可同时列出表示同一个量的两个代数式,这两个代数式相等……所以这就要求我们要认真分析题意,实事求是地找出等量关系。培养学生的观察、分析能力以及用方程思维解决问题的能力。
在一个应用题中,有时可以找两个或两个以上的等式,而我们列一元一次方程只能以一个等式为依据来列方程。这时就要我们确定出一个既包含题目中的已知量又要能直接或间接地包含未知量(题目中所问的问题)的等式。确定好等式以后,我们再分析等式的左边和右边:看哪些量是已知的,哪些量是未知的,有几个未知的。若出现一个未知的,再分析这个未知量与所求问题的关系,能否通过此未知量求出所求的问题,若能,则确定设此未知量为x。在分析等式的左边和右边时,若出现两个或两个以上未知量,这时,我们可以根据题目中其他等式找出这些未知量间的关系,结合所求问题确定其中一个设为x,然后再用含未知数x的代数式表示其他未知量。最后再根据等量关系列出方程。
整个应用题分析的思路可以用以下图表来表示:
方程?弄清?题意 等式1?等式2?等式3?…?代表?全意等式?分析左边?右边 ?已知?未知未知1?未知2?未知3?…→未知(设)
下面我们来分析两道应用题:
例1 设有甲、乙、丙、丁四个数,已知甲数比乙数多3,丙数比甲数的2倍多7,丁数比乙数的2倍多5,四个数总和是45.求甲、乙、丙、丁四个数各是多少?
分析:题目中直接给出的等式有:① 甲数=乙数+3,?② 丙数=2×甲数+7 ③ 丁数=2×乙数+5,④ 甲数+乙数+丙数+丁数=总和。
显然,能够包含全部题意的等式是④,现在来分析④的左边与右边;右边总和是45,左边四个数暂时均为未知数(所求问题)因为只能设其中一个为x,所以要分析四个数之间的关系:
甲数+乙数+丙数+丁数=总和
故 设乙数为x,则甲数为(x+3),丁数为(2x+5),丙数为2x+3+7,再代入上述等式可得方程:
(x+3)+x+2x+3+7+(2x+5)=45
例2 希腊数学家丢番图(公元3―4世纪)的墓碑上记载着: “他生命的六分之一是幸福的童年;再活了他生命的十二分之一,两颊长起了细细的胡须;他结了婚,又度过了一生的七分之一:再过五年,他有了儿子,感到很幸福;可是,儿子只活了他父亲全部生命的一半;儿子死后,他又在极度的悲伤中度过了四年,也与世长辞了。” 丢番图死时多少岁?
分析:设丢番图活了x岁。那么他童年为?16x岁,结婚时为?16x+112x岁,儿子活了12x岁;于是可得方程x=16x+112x+17x+5+12x+4。
由于思维过程不同,分为综合法和分析法两种。综合法是从已知条件出发,逐步推出要解决的问题;分析法是从问题出发,逐步追溯到已知条件。例如:红叶服装厂计划做660套衣服,已经做了5天,平均每天做75套。剩下的要3天做完,平均每天做多少套?
用分析法分析:要求平均每天做多少套,就必须知道剩下多少套(未知)和剩下的要几天做完(已知);要求剩下多少套就必须知道计划做多少套(已知)和已经做了多少套(未知);要求已经做了多少套就必须知道平均每天做多少套(已知)和做了几天(已知)。这样一步一步找出新的问题中的数量关系,直到新的问题所要求的数量关系都成为已知条件为止。
用综合法分析:题中告诉我们,已经做了5天,平均每天做75套,我们能求出5天做的套数;已知计划做660套和5天做的套数,我们能求出剩下的套数;已知剩下的套数和剩下做的天数,我们能求出剩下平均每天做的套数。根据题中给的已知条件,一步步找到需要解答的问题。
分析应用题时两种方法经常是互相配合,灵活运用。用综合法分析要随时照顾要求的问题,注意已知条件和问题的关系;用分析法分析要随时照顾已知条件,注意问题和已知条件的关系。不论用什么方法分析应用题,都要认真审题,理解题意,通过分析已知条件和问题间的数量关系,找出中间问题(也叫关键问题),最后求得应用题的正确解答。
当然,我们平时遇到列方程解应用题时,有的可以画图帮助分析,有的可以列表帮助分析等等。但是,不管利用什么形式来分析,都离不开寻找等量关系。否则,就会变成无的放矢。
(岳彩红 江苏省泗洪中学 223900)