摘 要:五年三次一课:等比数列的前n项和,探讨如何在新课程理念下优化课堂教学设计,使知识最大程度的被学生主动、愉快地接受。 关键词:新课程理念教学设计优化
课堂教学行为是整个教学的中心,而课堂教学的关键是教学设计。在不同形式下本人设计了五年三次一课:等比数列的前n项和,今年是第三次备课,也是我省实施新课程的第二年,对比新旧课程的理念,在优化课堂教学设计的同时也优化课堂效果。对比三次的课堂教学设计及其反思,有助于今后教学的改进和优化。
一、三次课堂教学设计和反思
1.1第一次教学设计(2003年)(等比数列前n项和)
【引入】由书本棋盘问题提出:S64=1+2+4+L+262+263=?
问题解决:主要方法 (错位相减法)
S64=1+2+4+L+262+263①
2S64=2+4+8+L+263+264 ②,②-①得S64=264-1
【公式推导】 问题1:把2改成q,则Sn=1+q+q2+L+qn-2+qn-1,如何化简?
仿照上面的求和方法(主要讲错位相减法),等式两边应同乘以q,即
Sn=1+q+q2+L+qn-2+qn-1①
qSn=q+q2+L+qn-2+qn-1+qn ②
①-②得(1-q)Sn=1-qn③ (提问学生如何处理,提醒学生注意q的取值)
当q=1时,由①得Sn=n,当q≠1时,
由③得Sn=;
问题2:等比数列{an}前n项的和呢?
对于一般等比数列{an},它的前n项的和是
Sn=a1+a2+a3+L+an=a1+a1q2+L+a1qn-2+a1qn-1
=a1(1+q+q2+L+qn-2+qn-1)
可得等比数列前n项和公式
Sn=na1,(q=1)=(q≠1)
【例题讲解】例1:求等比数列,,,,∧的前8项的和.
例2:在等比数列{an}中a3=4,S3=12求a1,q,
例3:求和:1+2x+3x2+x3∧∧+nxn-1∧(x≠0)
【课堂练习】课本P128 练习1. (1)、(3),2..(1)
【课时小结】(1)等比数列求和公式是本节课重点内容,使用这个公式时,特别注意q=1时的情况。
(2)会运用方程思想在a1,n,q,an,Sn五个量中知三求二。
【反思与改进】2003年第一次教学设计应该说是失败的,学生没有积极性,课堂练习反馈的结果很不理想。是什么原因呢?一.引入不够引人入胜;二.等比数列求和的本质是消项,怎么消,为什么这样消没解决。
带着这样的问题,设计了第二次教学。
1.2第二次课堂教学设计(2004)
【课堂引入】话说猪八戒自西天取经回到了高老庄,从高员外手里接下了高老庄集团,摇身变成了CEO.可好景不长,便因资金周转不灵而陷入了窘境,急需大量资金投入,于是就找孙悟空帮忙.悟空一口答应:“行!我每天投资100万元,连续一个月(30天),但是有一个条件是:作为回报,从投资的第一天你必须返还给我1元,第二天返还2元,第三天返还4元……即后一天返还数为前一天的2倍.”八戒听了,心里打起了小算盘:"“第一天:支出1元,收入100万;第二天:支出2元,收入100万,第三天:支出4元,收入100万元;……哇,发财了……”心里越想越美……再看看悟空的表情,心里又嘀咕了:“这猴子老是欺负我,会不会又在耍我?”假如你是高老庄集团企划部的高参,请你帮八戒分析一下,按照悟空的投资方式,30天后,八戒能吸纳多少投资?又该返还给悟空多少钱?
学生自主探究:S30=1+2+22+23+∧+229
一般等比数列前n项和:Sn=a1+a2+a3+∧∧+an-1+an=?
即Sn=a1+a1q+a1q2+∧a1qn-2+a1qn-1=?
【公式推导】方法1:错位相减法
Sn=a1+a1q+a1q2+∧a1qn-2+a1qn-1qSn=a1q+a1q2+a1q3+∧a1qn-1+a1qn
∴(1-q)Sn=a1-a1qn
Sn q≠1na1 q=1
方法2:提取公比q
Sn=a1+a1q+a1q2+∧a1qn-2+a1qn-1
=a1+q(a1+a1q+∧a1qn-2)
=a1+q(Sn-a1qn-1 ∴(1-q)Sn=a1-a1qn
【例题讲解】例1.已知{an}是等比数列,请完成下表:
例2.求等比数列,,,,∧的第5项到第10项的和.
方法1:观察、发现:a5+a6+∧+a10=S10-S4.
方法2:此等比数列的连续项从第5项到第10项构成一个新的等比数列:首项为a5=16,公比为q=2,项数为6.
变式1:求1,2,3,4,5∧的前n项和.
【课时小结】引导学生从知识、思想、方法三个方面进行总结.
【反思与改进】这节课解决了设计1提出的两个问题吗?一.学生活跃,一节课很快过去,主要是情境设置生活化.本着新课程的教学理念,考虑到高一学生的心理特点以及初、高中教学的衔接,让学生初步了解“数学来源于生活”,采用动漫故事的形式创设问题情景,意在营造和谐、积极的学习气氛,激发学生的探究欲.二.但感觉热热闹闹过大年,有点虚。为什么要乘2,为什么要乘公比q,没有给出本质,也就是说没有解决错位相减法的关键。再回忆等差数列前n项和用了倒序相加法,因为首尾相加相同所以相加,怎么利用等比数列的性质来启发学生自己得出方法。
带着第二个问题:为什么想到错位相减并运用新课程理念设计了第三次。
1.3第三次课堂教学设计(2008)
【课堂引入】
【公式推导】S30=1+2+22+23+∧+229
师:请同学回忆等差数列前n项和公式推导方法。
生:采用倒序相加的方法。
师:那等比数列前n项和呢?应该用什么方法?
生:也用倒序相加,也有些声音是倒序相乘。
师:请同学用自己所想到的方法尝试一下。
几分钟后,学生感觉不对,好象不能消项。
师:同学再思考一下,为什么能在等差数列中用倒序相加,而在等比数列中不能用?
生:因为等差数列的性质决定的,2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+……+(an+a1)
师:那等比数列有什么性质?应用什么方法推导求和呢?
生:从第二项起,每一项与前一项的比是常数,
即=q(k?莛2)
师:那也就是说,1,2,22,23,∧,229每一项乘2就是后一项。那应该怎么办呢?
生:S30=1+2+22+23+∧+229中乘2就有很多相同的项了,或许能消。
师:非常好,我们根据性质,=q(k?莛2)?圯ak=qak-1?圯ak-aqk-1=0也就是说,
即在等比数列中的第k项与第k-1项q倍的差等于0。请同学们试试。
生:(踊跃地)先生,我会了……。只要把S30乘2相减就可以了。中间让学生自行计算,得出结果。
师:如果推广到一般的等比数列前n项和:
Sn=a1+a2+a3+∧∧+an-1+an
生:同理,乘公比q相减即可。
Sn=a1+a2+a3+∧∧+an-1+an
qSn=qa1+qa2+qa3+∧∧+qan-1+qan
=a2+a3+∧∧+an-1+an+q1an
师:好,我们把这种方法叫做:错位相减法。
师:同学们的结果是(1-q)Sn=a1-a1qn,除以(1-q),便得Sn= q≠1na1q=1
再对错位相减法进行诠释以及注意点的地方说明一下。
【例题讲解】例1.求等比数列,,,,∧的前8项的和.
例2:求和:1+x+x2+x3∧∧+xn-1∧(x≠0)
变式:求和:1+2x+3x2+x3∧∧+nxn-1∧(x≠0)
【课堂练习】以下列要求编两个题目给同桌做
(1)已知a1,q,sn,求n.
(2)已知an,q,sn,求a1
【反思与改进】解决了设计1、设计2提出的问题,并解决了这节课的重难点问题。本节课不仅气氛活跃,学生接受的也快,使学生成为了真正的主人。教学中本着以学生发展为本的理念,充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台,通过他们自主学习、合作探究,使问题探究活动化。充分展示学生解决问题的思想方法,共享学习成果,体验数学学习成功的喜悦。通过师生之间不断合作和交流,发展学生的数学观察能力和语言表达能力,培养学生思维的发散性和严谨性。
本节课的关键是让学生理解错位相减法的本质,为什么要乘2,为什么要乘公比q。因为数列求和的本质就是消项,而如何消项,就要用等比数列的定义去解决,即每一项与前面一项的比是同一个常数q,观察Sn=a1+a1q+a1q+a1q2+∧a1qn-2+a1qn-1,如果在此基础上乘q将有大量的相同项。理解这个就理解了本课的关键。不仅授鱼,且授渔。从课后反馈情况来看,课堂练习学生做的效果非常理想。
那么我们再思考一个问题,设计3是不是就应该成功了,是不是还应该有设计4呢?答案是肯定的。我们再思考一个问题,什么让我们前进了,什么指引着我们优化教学设计呢?
2.课堂教学设计优化的理论支撑
2.1反思是优化教学再设计的前提
思然后知不足,知不足,然后能自反。如果不反思就不知道设计1、设计2存在的问题。所以深刻反思自己的教学实践并上升到理性思比数考,把理论与实践真正结合起来。通过反思发现教学设计1课堂气氛不理想的原因:没有一个引人入胜的引入和没有点出等比数列前n项和的关键所在。通过反思发现教学设计2学生启而不发的原因是:没有让学生自主探究等列前n项和的本质。审问之,慎思之,明辩之,通过不断的反思,才能设计出教学设计3、4等。再者反思应该从以下方面进行,教学理念上反思、教学方式、方法上反思、教学过程上反思。新课程标准理念要求教师从片面注重知识的传授转变到注重学生学习能力的培养,教师不仅要关注学生学习的结果,更重要的是要关注学生的学习过程,促进学生学会自主学习、合作学习,引导学生探究学习,让学生亲历、感受和理解知识产生和发展的过程,培养学生的数学素养和创新思维能力,重视学生的可持续发展,培养学生终身学习的能力。
2.2抛锚式教学模式教学设计
抛锚式教学模式是由温比尔特认知与技术小组(Cognition and Technology Group at Vanderbilt,CTGV)在约翰?布朗斯福特(John Bransford)的领导下开发的。传统的数学教学策略是一种“老师讲、学生听”的灌输式教学模式。这种在课堂教学中虽然也能够使学生获得很多知识,但这是在无背景的情境下获得的知识,经常是惰性的和不具备实践作用的,我们需要变革传统的数学教学模式,抛锚教学强调在富有兴趣的真实背景中,通过问题的解决,实现学习者对知识的主动建构。设计2、设计3都有这种“锚”。设计真实“宏观情境”的“锚”,围绕“锚”组织教学,学生自主学习与合作学习以及解决问题的过程;鼓励学生自己发现并解决问题。
2.3认知学徒模式教学设计
学徒模式的本意是一种“做中学”的形式,这种置于真实情境中的任务提供了学习的有组织的和统一的作用和目的。而引入课堂教学是让学生探究,如设计3中学类比等差数列探究,自己发现问题,自己解决问题。我们设计课堂时,既要坚持“为学习而设计”、“为学生发展而设计”的原则,又要体现创造性,只有好的设计才能是课堂变得生机勃勃、充满智慧。所以设计主体是学生,让学生的课堂活动成为主体。反之,如果我们没有以学生为主体看待教学,以静态教案为本位,教师对教材、教案的认识过程代替了学生对学习内容的认知过程,学生只能被动适应,丧失了学习过程中的能动性和创造性。象教学设计3的引入能在一定程度上激起学生的兴趣,投其所好,兴趣是最好的老师。《高中数学新课程标准》指出:“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习,高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式”,数学新课程标准要求学生转变学习方式,变“被动接受”为“主动发现”。
3.等比数列前n项和第四次教学设计应该是怎么样的呢?
有了前3次设计,本人设想第4次应该完美的,应该完全体现新课程的价值,并折射去较好的课堂教学效果。所以我们再设计4的时候,应该本着这样的原则,课堂引入要生活化,要跟住学生的步伐,知识的本质要让学生自己探索,或许有失败,但过程比结果重要的多。同时《高中数学新课程标准》指出:要体现数学的文化价值,数学是人类文化的重要组成部分,数学课程应适当反映数学的历史、应用、和发展趋势,数学对推动社会发展的作用,数学的社会需要,社会发展对数学发展的推动作用,数学科学的思想体系,数学的美学价值。基于以上理论有了设计4的初步设想,探求等比数列性质来达到消项目的时候也可以才用类比思想,类比:
S=+++……+=+……1-+-……+-=
当公比q不等于1时,类比以上思想:1==-,
Sn=a1+a1q+a1q2+……a1qn-1=a1(1+q+q2+……+qn-1)=a1(-+-+……-+)=a1(-)=a1,我们引导学生去探究,教师启而让学生去发。比如我们还可以引入数学史的知识,中国古代《孙子算经》的名题:今有出门望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,猫有九色,问个几何。古代埃及希古索斯有一题:一个妇人的家里有7个房间,每个房间有7只猫,每只毛捉了7只老鼠,每只老鼠吃了7棵麦穗,每棵麦穗长出7粒麦粒,问总数几何。还有很多,可以借此机会了解数学史。
继续深入新课程应该有新的思想,而新的思想、新的理念指引我们有新的教学设计,所以我们将继续我们的步伐,期待更好的设计5、设计6。
参考文献:
人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(下B).北京:人民教育出版社,2004。
高文、王海燕.抛锚式教学模式.《外国教育资料》1998年第3、4期。
刘智强.单调函数定义教学的三次改进过程及反思.中学数学教学参考(高中),2006.12。
汪晓勤,韩祥临.中学数学中的数学史,科学出版社,2002。