摘要：渗流力学基本方程中的正负符号含有重要的物理含义，正负符号的添加直接影响求解的结果和对结果的分析、解释和应用。本文从基本物理概念出发，对基本方程中的正负符号进行辨析，有助于正确理解和解释其物理含义，防止正负符号的混淆和误用。
关键词：正负符号；基本方程；渗流力学
中图分类号：G642.421 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）03-0058-02
渗流力学是研究地层流体及其混合物在地层中流动规律的科学，只有掌握了流体在地层中的运动规律，才能科学合理地开发油气田，描述流体的运动规律需要借助于数学的原理和方法建立数学模型和求得结果，所求结果应能正确分析并解释实际的物理现象和物理问题。状态方程、达西公式和源（汇）的势的表达式是描述地下流体运动规律的基本方程，将在基本方程基础之上建立的数学模型结合相应求解条件，可以求解复杂流动情况下的油气渗流规律，并根据计算结果对实际问题进行分析和解释。
渗流力学基本方程中一些数学表达式的正负符号含有重要的物理含义，正负符号直接影响求解的结果和对结果的分析、解释和应用，为了防止正负符号的混淆和误用，本文从基本物理概念出发，对数学表达式中的正负符号进行辨析。
一、状态方程
状态方程用于描述物质特性参数随压力和温度的变化的情况，状态方程是根据压缩系数定义的数学表达式推导出来的，压缩系数表达式中的正负符号含有着不同的物理意义。同一地层及其所含流体的温度变化不大时，一般将流体在地层中的流动视为等温流动。等温压缩系数定义是指等温条件下，单位体系压力变化时的体系体积缩小率，其数学表达式为：C=±■■；式中，C、V、p分别为等温压缩系数，体系体积和体系压力。式中正负符号的确定原则：（1）压力增大时，若体系体积减少，取负号。此时体系体积的增量（终值与初值之差）为负值，压力增量（终值与初值之差）为正值，两者增量的比值为负值。压缩系数为标量，一般总规定其为正值。故需在上述表达式的右端前面添加负号，以便使右端总为正值，即保持压缩系数总为正值。（2）压力减小时，若体系体积也减小，取正号。此时体系体积增量为负值，压力增量为负值，两者增量的比值为正值，满足压缩系数为正值这一规定。
1.地层流体的等温压缩系数。对于地层孔隙中的流体，当地层压力（即地层孔隙流体压力）增加时流体体积会减小，按上述第一种原则需要添加负号，故C1=-■■；式中，C1、V1、p分别为地层流体的等温压缩系数，地层流体的体积和地层压力。若考虑流体压缩系数C1较小，将其按常量处理，再将质量M与流体体积V1及其密度ρ1的关系式M=ρ1V1代入上式，利用分离变量法积分后可得地层流体的状态方程：ρ1=ρ0e■；式中，p0和ρ0分别表示初始压力和初始流体密度。
2.地层岩石的等温孔隙压缩系数。由于上覆地层压力=基岩应力+地层压力，故井眼钻开后流体向井底流动，地层压力下降并向地层深处波及，原有的平衡关系被破坏，岩石孔隙在上覆地层压力作用下被挤压变形，孔隙体积减小，孔隙体积增量为负值，地层压力增量也为负值，两者变化量的比值为正值，按上述第二种原则应添加正号，故地层岩石的等温孔隙压缩系数：Cφ=■■式中，Cφ、Vφ、p分别为等温孔隙压缩系数，地层孔隙的体积和地层压力。若考虑地层孔隙压缩系数Cφ较小，可将其按常量处理，再将孔隙体积Vφ与p岩石外观体积Vs和有效孔隙度φ的关系式Vφ=φVs代入上式，利用分离变量法积分后可得地层岩石孔隙的状态方程：φ=φ0e■；式中，P0和φ0分别表示初始压力和初始地层孔隙度。
二、达西公式
流体流动遵循的基本规律是牛顿第二运动定律，即动量守恒定律，运动方程是流动流体动量守恒的数学描述。流体在多孔介质中流动时，因孔道形状不定、变化多端和岩石的比面很大，致使流体与固体孔道壁之间的粘性作用明显而又复杂，很难依据牛顿第二定律建立描述地下流体在多孔介质中流动时的运动方程。地下流体在多孔介质中流动时的运动方程是通过实验总结出来的，这就是达西公式。达西公式描述的是流体的流速与渗透率、流体粘度和压力梯度之间的关系。流速和压力梯度均为矢量，达西公式中正负符号的正确运用代表着流体流动时的流速和压力梯度的方向。流速值的正负容易确定，而梯度值的正负在确定时常发生混淆和误用。梯度是一个矢量，是标量场不均匀性的量度，梯度的大小（即梯度的模）等于函数值或物理量沿指定方向的单位长度上的增加率。一般取指定方向为坐标轴正向，梯度正负值的确定原则是：若函数值或物理量随坐标正向长度的增加而增加，则梯度为正值，表明梯度值增加的方向与坐标正向一致；若函数值或物理量随坐标正向长度的增加而减小，则梯度为负值，表明梯度值增加的方向与坐标正向相反。梯度的概念一般包括有：速度梯度，压力梯度，温度梯度等。
1.平面一维流动情形。取流体的流动方向为坐标轴正向，层流状态下在流动方向上任一点处的达西微分公式表示为：ux=-■■。添加负号的理由：沿坐标轴正向，流体的压力px随距离x的增加而降低，即压力梯度■为负值，而渗透率K和μ流体粘度均为标量，一般总规定标量为正值。因流体的流动方向沿坐标轴正向，流速ux为正值，故需在达西公式的右端添加一个负号，使右端的表达式始终为正值，以满足流速为正值这一条件。
2.平面径向流动情形。以井底为极点建立极坐标系，流体沿径向流向井底，流动方向指向极点而背离极坐标的正向，层流状态下在流动方向上任一点处的达西微分公式表示为：ur=-■■。添加负号的理由：沿极坐标的正向（即背离流动方向），流体的压力随极径的增加而增加，其径向压力梯度■为正值。因流体的流动方向背离极坐标的正向，径向流速ur为负值，故需在达西公式的右端添加负号，使右端的表达式始终为负值，以满足径向流速为负值这一条件。
三、源和汇的势的表达式
在油气渗流力学中，利用势函数有时会使流体的稳定流动问题求解大为简化，稳定渗流的势函数Φ（x，y，z）定义为：Φ（x，y，z）=■p（x，y，z）。上述定义中，流体为单相，流体和地层均考虑为均质且各向同性的，故渗透率K和流体粘度ur均为常量。流体以平面径向渗流方式流入或流出平面上一点时，该点分别被称为平面点汇和平面点源。流体以球形径向渗流方式流入或流出空间中的一点时，该点分别被称为空间点汇和空间点源。由源和汇的定义，并根据流体是被注入地层还是来自于地层这一实际情况，将注水井视为源，生产井视为汇。
1.平面点汇情形下的势的表达式。以点汇为极点建立极坐标系，距离极点为r处的流体以平面径向流方式流向点汇，流体的流动方向与极坐标正向相反，则平面径向渗流时的体积流量为：q=-Aμr=-2πrh?ur，式中h为生产层厚度。若令通过单位生产层厚度的体积流量qh=■，则qh=-2πr?ur添加负号的理由：流体以径向方式流向点汇，流动方向指向极点而背离极坐标正向，故径向流速ur为负值，乘积πr为正值，2πr?ur为负值。体积流量qh为标量，一般总规定标量为正值，故需在体积流量公式的右端添加负号，使右端的表达式始终为正值，以满足流量为正值这一条件。将前面提到的平面径向渗流情形下的达西微分公式ur=-■■代入上式，可得平面点汇情形下任一点的势的表达式：Φ汇=■lnr+C；式中，C是由边界条件确定的积分常数，下同。
2.平面点源情形下的势的表达式。以点源为极点建立极坐标系，极点处的流体以平面径向渗流方式沿坐标正向流向它处，距离极点为处的单位油层厚度上通过的体积流量为：qh=Aur=2πr?ur添加正号的理由：流体自点源沿径向方式流向它处，流体的流动方向沿极坐标正向，故径向流速为ur正值，公式右端的体积流量qh也为正值，公式左端和右端均满足正值这一条件。平面点源情形下的平面径向渗流的达西微分公式为：ur=-■■。添加负号的理由：沿极坐标正向，流体的压力随极径r的增加而减小，其径向压力梯度■为负值。因流体的流动方向与极坐标正向一致，即径向流速ur为正值，故需在达西微分公式的右端添加负号，使右端的表达式始终为负值，以满足径向流速ur为负值这一条件。根据以上两式最后可得平面点源情形下距离极点为r的任一点的势的表达式：Φ源=-■lnr+C。
3.空间点汇和空间点源情形下的势的表达式。对于空间情形建立相应的球坐标系，以求解势的表达式。在空间点汇情形下势的表达式的推导中，根据q=-Aur=-4πr2?ur和ur=-■■，其添加正负符号的理由同平面点汇情形下的一致，最后可得空间点汇情形下距离坐标原点为处的任一点势为：Φ汇=-■+C；。空间点源情形下势的表达式的推导中，根据q=Aur=4πr2?ur和ur=-■■，正负符号的取法同平面点源情形下的取法一致，最后可得空间点汇情形下距离坐标原点为r处的任一点势为：Φ源=■+C。
参考文献：
[1]同济大学数学教研室.高等数学[M].（上册、下册）.北京：高等教育出版社，2000.
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[3]孔祥言.高等渗流力学[M].北京：中国科学技术大学出版社，1999.
[4]李佩成.地下水非稳定渗流解析法[M].上海：科学出版社，1990.
作者简介：徐波（1968-），男，博士，副教授，主要从事油气田开发学科的教学和科研工作。