在最近的一次高三数学综合练习中，有这样的一道题：“等差数列{a?n}中，若a?m=a，a?n=b，则有a??m+n=am-bnm-n．类比上述结论，等比数列{b?n}(b?n＞0)中，若b?m=p，b?n=q，则有b??m+n=．”这题得分非常低，班上一大半同学错了，答案五花八门，从学生那了解到，大多数同学都知道这是一道类比推理题，但没找到“类比源”，不会类比，导致答案出错，当然也有学生根本不会，随便写了个答案.
所谓类比推理，是指根据两个（或两类）对象在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同的一种逻辑方法.类比推理的思维过程大致如图所示：?
观察、比较联想、类推猜测新的结论?
其推理模式为：甲类事物具有性质A，B，C，D，乙类事物具有性质A′,B′,C′（A，B，C与A′，B′，C′相似或相同），所以乙类事物可能具有性质D′.
这是从特殊到特殊的一种推理形式，所推出的结论未必可靠，仅是一种“似真”的结果，带有猜测的性质.尽管发现的结果不一定真实，但它毕竟是一种方法，因为类比联想可以发现新的数学知识，类比可以寻找到解决问题的方法和途径，可以培养学生的发散思维，创造思维及合情推理能力.《新课标》已把培养学生的类比推理能力作为主要的能力培养目标之一.在江苏省考试说明中，推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳，类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性.其中类比推理在近几年的高考中出现频率较高，
例如：（1） （08年江苏高考题）如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点P(0,p)在线段AO上的一点（异于端点），这里a,b,c,p均为非零实数，设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F，某同学已正确求得直线OE的方程为1b-1cx+1p-1ay=0，请你完成直线OF的方程：()x+1p-1ay=0.
（2） （09年江苏高考题）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为．
因此，在高中数学的教学过程中要加强对类比推理能力的培养.下面仅以数列知识为背景加以说明.
等差数列与等比数列是高中数学中的重要内容，它们在定义等方面有许多相似之处，因此，可以用类比的方法研究它们的相关问题.它们之间的元素可按下列对应方法构成类比对象：
等差数列{a?n}?
定义：a?n-a??n-1=d(常数)(n≥2时)?
通项公式:a?n=a?1+(n-1)d?
性质：若m+n=p+q(m,n,p,q∈N?*),?
则a?m+a?n=a?p+a?q
等比数列{b?n}?
b?nb??n-1=q(常数)（n≥2时）?
b?n=b?1•qn-1?
若m+n=p+q(m,n,p,q∈N?*),?
则b?m•b?n=b?p•b?q
在讲解这部分知识时注意引导学生要充分认识到数列中的类比思想，并引导学生进行类比发现：等差数列中的“差”对应着等比数列中的“商”；等差数列中的“和”对应着等比数列中的“积”；等差数列中的“倍数n-1”对应着等比数列中的“幂指数n-1”；等差数列中的“公差d=0”对应着等比数列中的“公比q=1”…….找到这些规律后，我们就不难得到下列三题的答案了.
（1） 在等差数列{a?n}中，若a?8=0，则有等式a?1+a?2+a?3+…+a??15=0成立；类比上述结论，在等比数列{b?n}中，若b?8=1，则有等式成立.
（2） 若{a?n}为等差数列，数列{b?n}满足:b?n=1n(a?1+a?2+a?3+…+a?n),则数列{b?n}也成等差数列；类比上述结论，若{c?n}为正项等比数列，数列{d?n}满足时，则数列{d?n}也成等比数列.
（3） 数列{a?n}是等差数列，若b?n=a?1+2a?2+3a?3+…+na?n1+2+3+…+n，则数列{b?n}也为等差数列.类比上述结论，若{c?n}为正项等比数列，数列{d?n}满足时，则数列{d?n}也为等比数列.
解答：（1） b?1•b?2•b?3…b??15=1；（2） d?n=(c?1•c?2•c?3…c?n)?1n；（3） d?n=(c?1•c?2?2•c?3?3…c?n?n)11+2+3+…+n．
证明如下：（1） 方法一：在等差数列{a?n}中，若a?8=0，则a?1+a??15=2a?8=0，令
S??15=a?1+a?2+a?3+…+a??15，
倒序后，得：S??15=a??15+a??14+a??13+…+a?1，
两式相加，得2S??15=15(a?1+a??15)=30a?8=0，∴a?1+a?2+a?3+…+a??15=0，
类比倒序相加法，在等比数列中采用倒序相乘法，可得：
在等比数列{b?n}中，若b?8=1，则b?1•b??15=b?2?8=1，令T??15=b?1•b?2•b?3…b??15，
倒序后，得：T??15=b??15•b??14•b??13…b?1，
两式相乘，得T?2??15=(b?1•b??15)15=(b?2?8)15=1，∵T??15＞0∴b?1•b?2•b?3…b??15=1
方法二:在等差数列{a?n}中，若a?8=0,则a?1+a??15=a?2+a??14=…=a?7+a?9=2a?8=0，
∴a?1+a?2+a?3+…+a??15=0，
类比可得，在等比数列{b?n}中，若b?8=1，则b?1•b??15=b?2•b??14=…=b?7•b?9=b?2?8=1，
∴b?1•b?2•b?3…b??15=1
事实上，掌握了等差、等比数列的相似性质，抓住“类比源”后,可以很快地找到答案及证明方法，同理可证（2）、（3）的结论.接下来看一道上海高考题：“在等差数列{a?n}中，若a??10=0，则有等式a?1+a?2+…+a?n=a?1+a?2+…+a??19-n(n＜19,n∈N?*)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{b?n}中，若b?9=1，则有等式成立.”
注意到在等差数列{a?n}中，若a?k=0，则a??n+1+a??2k-n-1=a??n+2+a??2k-n-2=…=a?k+a?k=0；
∴a?1+a?2+…+a?n=a?1+a?2+…+a?n+(a??n+1+a??n+2+…+a??2k-2-n+a??2k-1-n)(n＜2k-1,n∈N?*)
因此在等差数列{a?n}中，若a??10=0，则有等式a?1+a?2+…+a?n=a?1+a?2+…+a??19-n(n＜19,n∈N?*)成立.类比到等比数列{b?n}中，若b?k=1，则有b?1•b?2…b?n=b?1•b?2…b??2k-2-n•b??2k-1-n(n＜2k-1,n∈N?*)，
所以答案是“b?1•b?2…b?n=b?1•b?2…b??17-n(n＜17,n∈N?*)”.
现在来看考试试题：“等差数列{a?n}中，若?a?m=a，a?n=b，则有a??m+n=am-bnm-n，类比上述结论，等比数列{b?n}(b?n＞0)中，若b?m=p,b?n=q，则有b??m+n=?．”
方法一：在等差数列{a?n}中，ma?m-na?nm-n=m［a?1+(m-1)d］-n［a?1+(n-1)d］m-n
=(m-n)a?1+(m-n)(m+n-1)dm-n
=a?1+(m+n-1)d=a??m+n
类似地在正项等比数列{b?n}中，b?m?mb?n?n=(b?1•qm-1)?m(b?1•qn-1)?n=b?m?1•q(m-1)?mb?n?1•q(n-1)n=b?(m-n)?1q?m-n(m+n-1)
=［b?1q(m+n-1)］m-n=b(m-n)??m+n，
所以b??m+n=p?mq?n?1m-n
方法二：等差数列{a?n}中，若a?m=a，a?n=b，则公差d=a-bm-n，
所以a??m+n=a?m+nd=a+n•a-bm-n=am-an+an-bnm-n=am-bnm-n，
类似地在正项等比数列{b?n}中，若b?m=p，b?n=q，则qm-n=pq，∴q=pq?1m-n
所以b??m+n=b?m•q?n=p•pq?nm-n=p?mm-nq?nm-n=p?mq?n?1m-n
实际上对于等差、等比数列，我们还有这样的两个结论：① 若{a?n}为等差数列，则{ca?n}(c＞0且c≠1)为等比数列；② 若{b?n}为正项等比数列，则{log?cb?n}(c＞0且c≠1)为等差数列.它们是联系等差、等比数列的很重要的桥梁，利用这两个结论，进行正确的指、对数运算，就很容易得出正确答案.
例如：考试试题中，若{b?n}为正项等比数列，则{lgb?n}为等差数列，利用已知条件，令a?n=lgb?n，可得lgb??m+n=mlgb?m-nlgb?nm-n=lgb?m?mb?n?nm-n=lgp?mq?n?1m-n，
∴b??m+n=p?mq?n?1m-n
上面的问题（1）中，令a?n=lgb?n，则lgb?1+lgb?2+lgb?3+…+lgb??15=0，
即lg(b?1b?2b?3…+b??15)=0，所以有b?1•b?2•b?3…?b??15=1.
问题（2）中，令a?n=lgc?n，b?n=lgd?n，
则lgd?n=1n(lgc?1+lgc?2+lgc?3+…+lgc?n)=lg(c?1c?2c?3…+c?n)?1n，
所以d?n=(c?1•c?2•c?3…c?n)?1n.
问题（3）中，令a?n=lgc?n，b?n=lgd?n，则lgd?n=lgc?1+2lgc?2+3lgc?3+…+nlgc?n1+2+3+…+n
=lg(c?1c?2?2c?3?3…+c?n?n)1+2+3+…+n=lg(c?1c?2?2c?3?3+…+c?n?n)?11+2+3+…+n
所以d?n=(c?1•c?2?2•c?3?3…c?n?n)?11+2+3+…+n.
如果把问题改为：（1） 在等比数列{a?n}中，若a?8=1，则有等式a?1•a?2•a?3…a??15=1成立；类比上述结论，在等差数列{b?n}中，若b?8=0，则有等式成立.
这时只需令a?n=cb?n(c＞0且c≠1)，则cb?1•cb?2•cb?3…cb??15=1，即
c(b?1+b?2+…+b??15)=1，所以b?1+b?2+b?3+…+b??15=0.再如：
（4） 在等差数列{a?n}中，若p,q,r为互不相等的正整数，则(q-r)a?p+(r-p)a?q+(p-q)a?r=0成立，类比上述结论，在正项等比数列{b?n}中，有成立.
解：令a?n=lgb?n，则(q-r)lgb?p+(r-p)lgb?q+?(p-q)lgb?r=0，
从而lgb(q-r)?p+lgb(r-p)?q+lgb(p-q)?r=0，即lg［b(q-r)?p•b(r-p)?q•b(p-q)?r］=0，
所以有结论：b(q-r)?p•b(r-p)?q•b(p-q)?r=1成立.
（5） 在等差数列{a?n}中，它的前n项和为S?n=n(a?1+a?n)2，类比可得，在正项等比数列{b?n}中，有? .
解：令a?n=lgb?n，则lgb?1+lgb?2+…+lgb?n=n(lgb?1+lgb?n)2，
即lg(b?1•b?2…b?n)=nlg(b?1•b?n)2=［lg(b?1b?n)?n2］，所以在正项等比数列{b?n}中，有它的前n项的积为T?n=(b?1b?n)?n2.
掌握了这两个结论后，数列中的很多类比推理题都可以迎刃而解.进行类比时，要尽量从事物的本质上进行类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓到一点表面相似甚至假象就类比，那么就会犯机械类比的错误，但只要稍加分析，便可得到正确的类比结果.总之，类比思想方法博大精深，能够收到严格逻辑推理所不能达到的效果，它能提高人们的数学素质，改善思维品质，即富有创造性，又让人产生柳暗花明又一村的感觉.
（责任编辑：张昌盛）