动态变化问题综合性强,具有一定的挑战性,能够有效地提高试卷的选拔功能和区分度.据笔者统计,90%的省市2011年的中考数学试卷,都对运动型问题进行了考查,而且运动型问题涉及的题量有所增加、分值比例有所提高,预计2012年的中考命题对运动型问题的考查必将延续.
(2011河北)如图1,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以每秒一个单位长度的速度运动t s(t>0),抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P. 已知矩形ABCD的三个顶点为A(1,0),B(1,-5),D(4,0).
(1)求c,b(用t的代数式表示).
(2)当4<t<5时,设抛物线分别与线段AB,CD交于点M,N.
①在点P的运动过程中,你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化,请说明理由;若不变,求出∠AMP的值.
②求△MPN的面积S与t的函数关系式,并求出t当为何值时,S=.
(3)在矩形ABCD内部(不含边界),把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”,若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分,请直接写出t的取值范围.
(1)因为抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P,将点O与点P的坐标代入方程即可求得c,b的值.
(2)①当x=1时,y=1-t,可求得点M的坐标,易得AM=AD=t-1,则可求得∠AMP的度数.
②由S=S-S=S+S-S,即可求得关于t的二次函数,当S=时,列方程即可求得t的值.
(3)根据题意,将“好点”分为数量相等的两部分,可求两种特殊情况下的t值.将点(2,-3)代入,可求出t=;将点(3,-2)代入,可求出t=.所以<t<.
(1)因为点P从原点O出发,沿x轴向右以每秒一个单位长度的速度运动t秒,所以点P的坐标为(t,0). 因为抛物线y=x2+bx+c经过点O(0,0)和点P(x,0),所以有0=c,0=t2+bt,解得b=-t,c=0.所以b=-t,c=0.
(2)①不变. 当x=1时,y=1-t,故M(1,1-t). 因为tan∠AMP=1,所以∠AMP=45°.
②S=S+S-S
=(t-4)(4t-16)+[(4t-16)+(t-1)]×3-(t-1)(t-1)
=t2-t+6.
令S=,即得t2-t+6=,解得t=,t=. 因为4<t<5,所以t=.
(3)<t<.
(1)当已知函数图象上点的坐标时,代入函数解析式,即可求待定系数;(2)图形面积的求解方法:①直接利用公式计算,②其他相关图形面积的和(差);(3)求取值范围时,可以求起始位置和终止位置两个特殊位置的值,从而确定取值范围.
值得注意的是,本题有几个易错点:(2)①中,发现不了AD和AM的等量关系,从而无法确定∠AMP的值;(2)②中,计算S与t的函数关系式时,一是不知道怎么算,二是计算错误;(3)求取值范围时,不会找特殊位置,无法确定取值范围.
(2011江苏扬州)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB0).
(1)△PBM与△QNM相似吗?以图2为例说明理由.
(2)若∠ABC=60°,AB=4cm,
①求动点Q的运动速度.
②设Rt△APQ的面积为Scm2,求S与t的函数关系式.
(3)探求BP2,PQ2,CQ2三者之间的数量关系,以图2为例说明理由.
(1)可以证明两个三角形中的两个角对应相等,则两个三角形一定相似.
(2)①设BP=3,根据△PBM∽△QNM可求得NQ的长,即Q一秒钟移动的距离,即Q的速度.
②分别用时间t表示出AP,AQ的长,根据直角三角形的面积即可求得函数解析式.
(1)△PBM与△QNM相似,理由如下:因为MN⊥BC,MQ⊥MP,所以∠NMB=∠PMQ=∠BAC=90°. 所以∠PMB=∠QMN,∠QNM=∠B=90°-∠C. 所以△PBM∽△QNM.
(2)①因为∠ABC=60°,∠BAC=90°,AB=4,BP=t,所以AB=BM=CM=4,MN=4. 因为△PBM∽△QNM,所以=,即==. 因为点P的运动速度是cm/s,所以点Q的运动速度是1 cm/s.
②如图3,当0