篇一：大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案
高等数学I （大一第一学期期末考试题及答案）
1. 当x?x0时，??x?,??x?都是无穷小，则当x?x0时（ D）不一定是
无穷小. (A) (C)
?x????x?
(B)(D)
?
2
?x???2?x?
?(x)
ln?1??(x)??(x)?
1
2
?(x)
?sinx?x?alim??x?asina??2. 极限的值是（ C ）.
（A） 1（B） e
x?0x?0
（C） e
cota
（D） e
tana
?sinx?e2ax?1?
f(x)??x
?a?3.
在x?0处连续，则a =（D ）. （C） e
lim
h
（A） 1
4. 设
（B） 0（D） ?1
?
f(a?h)?f(a?2h)
f(x)在点x?a处可导，那么h?0
（ A ）.
（A） 3f?(a)
f?(a)
（B） 2f?(a)
13f?(a)
(C) （D）
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. 极限x?06. 由
e
xy
lim
ln(x?a)?lna
x
(a?0)
1
的值是 a.
y(x)，则导函数y??
?ylnx?cos2x
确定函数
x . xy
xe?lnx
7. 直线l过点M(1,2,3)且与两平面x?2y?z?0,2x?3y?5z?6都平行，则直?
x?1
2sin2x?
y
?ye
xy
线l的方程为
8. 求函数
1
2
?
y?2?1
?
z?3?1
.
的单调递增区间为（－?，0）和（1，+? ） .
三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
1
y?2x?ln(4x)
9. 计算极限x?0
lim
(1?x)x?e
x
.
11
解：x?0
lim
(1?x)x?e
x
?elim
ex
ln(1?x)?1
?1
x?0
x
?elim
x
ln(1?x)?x
x
2
x?0
??
e2
F(x)?
10. 设f(x)在[a，b]上连续，且
x
x
?(x?t)f(t)dt
a
x?[a,b]
，试求出F??(x)。
解：
F(x)?x?f(t)dt??tf(t)dt
a
x
a
x
F?(x)?
?
a
f(t)dt?xf(x)?xf(x)?
cosxsinx
3
?
a
f(t)dt
F??(x)?f(x)
?11. 求
解
x.
：
s
?2
?
?
x
cs
12
3
xx
?2
??
??
oi?
i
d
x
12
i
四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
2
xs
?2
?
2
dxxx?1
2
12. 求
令
1x
3
.
11t
1t
2
?t
原式?
1232
(??1
1t
2
)dt
3
3
?
?
212
dt1?t
y?
2
?arcsint
212
2x
2
?
?
6
1?x 的极值与拐点. 13. 求函数
解：函数的定义域（－?，+?）
y??
2(1?x)(1?x)(1?x)
2
2
y???
?4x(3?x)(1?x)
2
3
2
令y??0得 x 1 = 1, x 2 = -1
y??(1)?0 x = 1是极大值点，y??(?1)?0x = -1是极小值点
1 2
极大值y(1)?1，极小值y(?1)??1
y???033
3
3
2
3
故拐点（-3，-2），（0，0）（3，2） 14. 求由曲线解:
x
3
y?
2
x
4与y?3x?x所围成的平面图形的面积.
3
2
4
?3x?x, x
x(x?6)(x?2)?0, x1??6, x2?0, x3?2.
33
02xx22
S??(?3x?x)dx??(3x?x?)dx
?6044 ?(
x
4
16
?
32
1
3
x?
?47
2
x
1
3
3
)
0?6
?(
32
x?
2
x
3
3
?
x
4
16
)
20
?45?2
15. 设抛物线
3
2
y?4?x上有两点A(?1,3)，B(3,?5)，在弧
A B上，求一点
P(x,y)使?ABP
的面积最大.
?x?2x?3
2
AB连线方程：y?2x?1?0 AB?45点P到AB的距离?ABP的面积
2x?y?1
2
? (?1?x?3)
12?45?
?x?2x?3
5
?2(?x?2x?3)
2
S(x)?
S?(x)??4x?4 当x?1 S?(x)?0 S??(x)??4?0
当x?1时S(x)取得极大值也是最大值
此时y?3 所求点为(1，3)
另解：由于?ABC的底AB一定,故只要高最大而过C点的抛物线的切线与AB平行时,高可达到最大值,问题转为求C(x0，4?x0),使f?(x0)??2x0??5?2
六、证明题（本大题4分）
16. 设x?0，试证e
2x
3?1
??2, 解得x0?1,所求C点为(1,3)
(1?x)?1?x
.
f??(x)?0，因此f?(x)在（0，
2x
证明：设f(x)?e
2x
(1?x)?(1?x),x?0
2x2x
f?(x)?e(1?2x)?1，f??(x)??4xe，x?0,
+?）内递减。在（0，+?）内，f?(x)?f?(0)?0,f(x)在（0，+?）内递减，在（0，+?）内，f(x)?f(0),即e
e
2x
2x
(1?x)?(1?x)?0亦即当 x>0时，e(1?x)?1?x
试证
(1?x)?1?x.
篇二：大一高等数学(上)期中测试
高等数学（上）期中测试题
一 填空题：（每小题4分，共32分，要求：写出简答过程，并且把答案填在横线上）
1.设
1
?
?(1?x)x
f(x)??
??x?a,
,x?0x?0
在
(??,??)
上处处连续，则
a?e
解
-1
。
1
x?0
lim??1?x?
x
???
x??lim???1??x?????x?0
??
1
?1
?e
?1
x?0
lim??x?a??a,有连续性有a?e
f?(3)?2,则lim
-1
f(3?h)?f(3)
2. 已 知
h?0
解 已知
f??3??lim
2hf(3)?f(3?h)
h12
?。
h?0
?2
则
lim
f(3?h)?f(3)
2h?f??3???
12
h?0
??lim
f(3)?f(3?h)
h
h?0
??
12
?2??1
3.函数
f(x)?x?2cosx在[0,
?
2
]上的最大值为
?
6
?
解 令
f??x??1?2sinx?0得x?
?
6
f?
0??2
????f????
6?6?
????
f???
2?2?
?
则最大值为
6
?
dy
， 则
4. 设
?x?5(t?sint)
?
?y?5(1?cost)
dy
dx
t?0
?dydx
2
t?0
2
?
120
dy
解
dx
t?0
?dxdt
t?0
?
5sint5?1?cost?
t?0
?0
dydx
2
t?0
2
?dy?d???dx??
dx
t?0
?dy?d???dx??
dx
dt
t?0
cost?1?cost??sin2
t
2
?
?1?cost?5?1?cost?
?
120
t?0
5. 设
y?x
1?x
(x?0)，则y??xx
?1?x?xlnx?
解 两边取对数有
lny??1?x?lnx
y?两边关于
x求导得
y
?lnx?
1?xx
,整理后即得结果
6. 设函数
y?y(x)由方程
x?y?cos(xy)?0
dy?
ysinxy?1
1?xsinxy
dx。
解 对方程两边关于
x求导 得:
1?y?-?sinxy???y?xy???0
y??ysinxy?1
ysinxy?1
1?xsinxy 则dy?1?xsinxy
dx
7. 曲线
y?e
?2x
4在点
M(0,1)
处的曲率K?
确定，则
解
y?
x?0
??2e
?2x
x?0
??2
y??
x?0
?4e
?2x
x?0
?4
则
k?
y??
?1?
8.函数
y?
2
?
3
?
2
4?1??
?2????
2
32
?
425
f(x)?xe
x
在
x0?1处的二阶泰勒公式为f(x)? 3ee?2e?x?1??
解 由
?x?1?
x
2
?
?3???e
?
?x?1?
3
f
?n?
?x???n?x?e
,代入泰勒公式即得
二．选择题：（每小题4分，共32分，每小题的四个选项中只有一个是正确的，要求写出简答过程，并且将答案对应的选项的字母填入题后括号里） 1.当
x?0时，下列函数中为无穷小的函数是（D ）。
A.
lgsinx
； B.
cos
1x
； C.
sin
1x
； D.
?
1x2
e
。
1
解A.limlgsinx??? B.limcox?0x?0xC.limsin
x?0
不存在
1x
不存在
D.lime
x?0
?
1x
2
?0
2.
设
??
f(x)??
??
sin0
1x
2
,x?0
，则
f(x)在点x?0处（C
）。
,x?0
A. 极限不存在；B. 极限存在，但不连续； C．连续，但不可导； D. 可导。
解
由
lim
x?0
sin
1x
2
?0?f?0?
则
f(x)在点x?0处连续
f
又
f??0??lim
?lim
?x??
sin
1x
2
f?
0?
sin
?lim
x?0
12
x?0
x?
0不存在
x
x?0
则
f(x)在点x?0处不可导 y?sin?12
；
B.
arccosx
2
，则
3.设
。 y?()?（A ）
2
1
A.
?
2
； C.
12
；
D.
。
2
??1??????
??
x?
12
解
y?
x?
12
arccosx1?cos?
22
12
篇三：大一下学期高等数学期中考试试卷及答案
大一第二学期高等数学期中考试试卷
一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。
1、已知球面的一条直径的两个端点为?2，?3，5?和?4，1，?3?，则该球面的方程为______________________
2、
函数u?ln(x在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,?2,2)方向的方向导数为
3、曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面方程为4、(x,y)?(0,0)lim(1?cos(x2?y2))sinxy(x?y)e
2222x2?y2? ?2z5、设二元函数z?xy?xy，则?_______________ ?x?y3
二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。
1、旋转曲面x2?y2?z2?1是（）
xz（A）．O
（B）．xOy
（C）．xOy坐标面上的双曲线绕Ox轴旋转而成； 坐标面上的双曲线绕Oz轴旋转而成； 坐标面上的椭圆绕Oz轴旋转而成；
坐标面上的椭圆绕Ox轴旋转而成． xz（D）．O
2、微分方程y???y?2xcosx?3x2的一个特解应具有形式（） 其中a1,b1,a2,b2,d1,d2,d3都是待定常数.
(A).x(a1x?b1)cosx?x(a2x?b2)sinx?d1x;
(B).x(a1x?b1)cosx?x(a2x?b2)sinx?d1x
(C).x(a1x?b1)(a2cosx?b2sinx)?d1x
222?d2x?d3; 2?d2x?d3; (D).x(a1x?b1)(cosx?sinx)?d1x?d2x?d3
3、已知直线L:x?2
2?y?1z与平面?:x?2y?? z?4,则 （） ?2?2?
(A).L在?内; (B).L与?不相交;
(C).L与?正交; (D).L与?斜交.
4、下列说法正确的是（） ????(A) 两向量a与b平行的充要条件是存在唯一的实数?，使得b??a；
?2z?2z(B) 二元函数z?f?x,y?的两个二阶偏导数2,2在区域D内连续，则在该区?x?y
域内两个二阶混合偏导必相等；
(C) 二元函数z?f?x,y?的两个偏导数在点?x0,y0?处连续是函数在该点可微的
充分条件；
(D) 二元函数z?f?x,y?的两个偏导数在点?x0,y0?处连续是函数在该点可微的必要条件.
?2z5、设z?f(2x?y,x?2y),且f?C（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则??x?y2
（）
(A)2f11?2f22?3f12;(B)2f11?f22?3f12;
(C)2f11?f22?5f12; (D)2f11?2f22?f12.
三、计算题（本大题共29分）
1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。
(1)（6分）y??1?x?y?xy
22
(2)（7分）y???3y??2y?xe2x
2、（本题8分）设z?uv2?tcosu，u?et，v?lnt，求全导数dz。 dt
3、（本题8分）求函数f?x,y??e2xx?y2?2y的极值。
??
四、应用题（本题8分）
1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和y台，成本函数为c(x,，若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何y)?x2?2y2?xy （万元）
安排生产使其总成本最少？最小成本为多少？
五、综合题（本大题共21分）
?yz?xz???1???11、（本题10分）已知直线l1：?bc，l2：?ac，求过l1且平行于l2的
???x?0?y?0
平面方程．
2、（本题11分）设函数f(x,y,z)?lnx?lny?3lnz 在球面x2?y2?z25?
R(2x?0,y?0上求一点,z?0)，使函数f(x,y,z)取到最大值．
六、证明题（本题共12分）
1、设函数u?xkF??z,?xy??，其中k是常数，函数F具有连续的一阶偏导数．试x?
y?? x?证明:x
?u?u?u?z?y?z?kxkF?,?x?y?z?x
第二学期高等数学期中考试试卷答案
一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）
1.、 ?x?3???y?1???z?1??21 222
2、1． 2
3、2x?4y?z?5?0．
4、5、2y?3x； 2
二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分） 1（A）
2（B）
3（C）
4（C）
5（A）
三、计算题（本大题共29分）
1、（1）解：将原微分方程进行分离变量，得：dy?(1?x)dx 21?y