篇一：2016挑战中考数学压轴题
第一部分 函数图象中点的存在性问题
1.1 因动点产生的相似三角形问题
例1 2013年上海市中考第24题
如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连结OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．
请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。
思路点拨
1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．
2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM． 3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．
满分解答
（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H． 在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°， 所以AH＝1，OHA(?1．
因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点， 设y＝ax(x－2)，代入点A(?1，可得
．图2 2所以抛物线的表达式为y?x(x?2)?．
2（2）由y? x?x?1)2得抛物线的顶点M的坐标为(1,． ．所以tan?BOM?
a?
所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°． （3）由A(?1、B(2,0)、M(1,，
得tan?ABO
，AB?
OM?．
OA
所以∠ABO＝30
°，?
OM
因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°． △ABC与△AOM相似，存在两种情况：
BAOA??
时，BC???2．此时C(4,0)． BCOMBCOA
②如图4
，当??
时，BC???6．此时C(8,0)．
BAOM
①如图3
，当
图3 图4
考点伸展
在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标．
如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．
图5
例2 2012年苏州市中考第29题
121b
x?(b?1)x?（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交444
于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
如图1，已知抛物线y?
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻．
思路点拨
1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．
2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．
3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．
满分解答
b)． 4
（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC． 因此PD＝PE．设点P的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP．
1b15
所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝??x??b?x?bx＝2b．
2428
161616
解得x?．所以点P的坐标为(,)．
555
（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0,
图2图3
121b1
x?(b?1)x??(x?1)(x?b)，得A(1, 0)，OA＝1． 4444
①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA． BAQA当，即QA2?BA?OA时，△BQA∽△QOA． ?QAOAb
所以()2?b?
1．解得b?8?Q为
(1,2．
4
②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。 因此△OCQ∽△QOA． BAQA当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°． ?QAOA
BOQA
所以C、Q、B三点共线．因此，即b?QA．解得QA?4．此时Q(1,4)． ?
COOA1
4
（3）由y?
图4 图5
考点伸展
第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．
这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．
如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？
如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．
例3 2012年黄冈市中考模拟第25题
如图1，已知抛物线的方程C1：y??
1
(x?2)(x?m) (m＞0)与x轴交于点B、C，与ym
轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C在x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC与BF保持平行，但是∠BFC在无限远处也不等于45°．观察右图，可以体验到，∠CBF保持45°，存在∠BFC＝∠BCE的时刻．
思路点拨
1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小． 2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程．
满分解答
11
(x?2)(x?m)，得2???4(2?m)．解得m＝4． mm111
（2）当m＝4时，y??(x?2)(x?4)??x2?x?2．所以C(4, 0)，E(0, 2)．
442
11
所以S△BCE＝BC?OE??6?2?6．
22
（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．
HPEO
设对称轴与x轴的交点为P，那么． ?
CPCO
HP233因此?．解得HP?．所以点H的坐标为(1,)．
3422
（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．
CEBC
由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即BC2?CE?BF时，△BCE∽△FBC． ?
CBBF
1
(x?2)(x?m)1FF'EO2设点F的坐标为(x,?(x?2)(x?m))，由，得??．
mBF'COx?2m
解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．
（1）将M(2, 2)代入y??
篇二：2016挑战中考数学压轴题
目录
第一部分 函数图象中点的存在性问题
1.1 因动点产生的相似三角形问题
例1 2015年上海市宝山嘉定区中考模拟第24题
例2 2014年武汉市中考第24题
例3 2012年苏州市中考第29题
例4 2012年黄冈市中考第25题
例5 2010年义乌市中考第24题
例6 2009年临沂市中考第26题
1.2 因动点产生的等腰三角形问题
例1 2015年重庆市中考第25题
例2 2014年长沙市中考第第26题
例3 2013年上海市虹口区中考模拟第25题
例4 2012年扬州市中考第27题 例5 2012年临沂市中考第26题
例6 2011年盐城市中考第28题
1.3 因动点产生的直角三角形问题
例1 2015年上海市虹口区中考模拟第25题
例2 2014年苏州市中考第29题
例3 2013年山西省中考第26题
例4 2012年广州市中考第24题 例5 2012年杭州市中考第22题
例6 2011年浙江省中考第23题
例7 2010年北京市中考第24题
1.4 因动点产生的平行四边形问题
例1 2015年成都市中考第28题
例2 2014年陕西省中考第24题
例3 2013年上海市松江区中考模拟第24题 例4 2012年福州市中考第21题
例5 2012年烟台市中考第26题
例6 2011年上海市中考第24题
例7 2011年江西省中考第24题
1.5 因动点产生的梯形问题
例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第24题 例2 2014年上海市金山区中考模拟第24题
例3 2012年上海市松江中考模拟第24题
例4 2012年衢州市中考第24题
例5 2011年义乌市中考第24题
1.6 因动点产生的面积问题
例1 2015年河南市中考第23题
例2 2014年昆明市中考第23题
例3 2013年苏州市中考第29题
例4 2012年菏泽市中考第21题 例5 2012年河南省中考第23题
例6 2011年南通市中考第28题
例7 2010年广州市中考第25题
1.7 因动点产生的相切问题
例1 2015年上海市闵行区中考模拟第24题
例2 2014年上海市徐汇区中考模拟第25题
例3 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题
1.8 因动点产生的线段和差问题
例1 2015年福州市中考第26题
例2 2014年广州市中考第24题
例3 2013年天津市中考第25题
例4 2012年滨州市中考第24题
第二部分 图形运动中的函数关系问题
2.1 由比例线段产生的函数关系问题
例1 2015年呼和浩特市中考第25题
例2 2014年上海市徐汇区中考模拟第25题
例3 2013年宁波市中考第26题
例4 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题
2.2 由面积公式产生的函数关系问题
例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第25题
例2 2014年黄冈市中考第25题 例3 2013年菏泽市中考第21题
例4 2012年广东省中考第22题
例5 2012年河北省中考第26题
例6 2011年淮安市中考第28题
第三部分 图形运动中的计算说理问题
3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题
例1 2015年北京市中考第29题
例2 2014年福州市中考第22题
例3 2013年南京市中考第26题
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题
例1 2015年杭州市中考第22题
例2 2014年安徽省中考第23题
例3 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题
第四部分图形的平移翻折与旋转
4.1图形的平移
例1 2015年泰安市中考第15题
例2 2014年江西省中考第11题
4.2图形的翻折
例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题
例2 2014年上海市中考第18题
4.3图形的旋转
例1 2015年扬州市中考第17题
例2 2014年上海市黄浦区中考模拟第18题
4.4三角形
例1 2015年上海市长宁区中考模拟第18题
例2 2014年泰州市中考第16题
4.5四边形
例1 2015年安徽省中考第19题
例2 2014年广州市中考第8题
4.6圆
例1 2015年兰州市中考第15题
例2 2014年温州市中考第16题
4.7函数图像的性质
例1 2015年青岛市中考第8题
例2 2014年苏州市中考第18题
声 明
选自东师范大学出版社出版的《挑战压轴题〃中考数学:精讲解读篇》（含光盘）一书。该书收录当年全国各地具有代表性的中考数学压轴题， 并把它们分为4部分、24小类。该书最大的特色是用几何画板和超级画板做成电脑课件，并为每一题录制了视频讲解，让你在动态中体验压轴题的变与不变，获得清晰的解题思路，完成满分解答，拓展思维训练。
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乎人手一本，成为冲刺名牌高中必备用书。
由于格式问题，该书最具特色的电脑课件和视频文件在此无法一并附上，敬请原谅。
第一部分 函数图象中点的存在性问题
1.1 因动点产生的相似三角形问题
例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题
如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．
（1）求k与m的值；
（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；
（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射
篇三：挑战中考数学压轴题教师版)(2016版)
目录
第一部分 函数图象中点的存在性问题 ................................................................................2
1.1 因动点产生的相似三角形问题 .......................................................................................2
1.2 因动点产生的等腰三角形问题 ...................................................................................... 11
1.3 因动点产生的直角三角形问题 .................................................................................... 19
1.4 因动点产生的平行四边形问题 .................................................................................... 29
1.5 因动点产生的面积问题 ................................................................................................ 40
1.6 因动点产生的线段和差问题 ........................................................................................ 50
第二部分 函数图象中点的存在性问题 ............................................................................. 55
2.1 由比例线段产生的函数关系问题 ................................................................................ 55
2.2 由面积产生的函数关系问题 ........................................................................................ 57
第三部分图形运动中的计算说理问题 ................................................................................. 65
3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 ...................................................................... 65
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 ....................................................................... 70
第四部分图形的平移翻折与旋转 ................................................................................... 74
1 / 82
第一部分 函数图象中点的存在性问题
1.1 因动点产生的相似三角形问题
例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考
如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．
（1）求k与m的值；
（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；
（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．
图1
满分解答
（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．
k，得k＝8． x
8（2）将点B(n, 2)，代入y?，得n＝4． x将点A(2, 4)代入y?
所以点B的坐标为(4, 2)．
设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2．
所以点C的坐标为(0,－2)．
由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和
竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．
所以AB
＝BC
＝ABC＝90°． 图2
所以S△ABC＝11BA?
BC＝?8．22
（3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD
＝AC
＝．
由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．
所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：
①如图3，当CEAD时，CE＝AD
＝ ?CAAC
CEACCE
＝．此时C、E两点间的水?
?CAAD 2 / 82 此时△ACD≌△CAE，相似比为1． ②如图4，当平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．
图3 图4
考点伸展
第（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形．
一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．
如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．
由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．
图5
例2 2014年武汉市中考第24题
如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．
图1 图2
3 / 82
满分解答
（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．
△BPQ与△ABC相似，存在两种情况：
BPBA5t10?① 如果，那么?．解得t＝1． BQBC8?4t8
BPBC5t832?② 如果，那么．
?．解得t?BQBA8?4t1041
图3 图4
（2）作PD⊥BC，垂足为D．
4在Rt△BPD中，BP＝5t，cosB＝，所以BD＝BPcosB＝4t，PD＝3t． 5
当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP． ACCD68?4t7?所以，即?．解得t?．
QCPD4t3t8
图5 图6
（3）如图4，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E．
由于H是PQ的中点，HF//PD，所以F是QD的中点．
又因为BD＝CQ＝4t，所以BF＝CF．
因此F是BC的中点，E是AB的中点．
所以PQ的中点H在△ABC的中位线EF上．
考点伸展
本题情景下，如果以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相切，求t的值．
BPBC32?如图7，当⊙H与AB相切时，QP⊥AB，就是，t?． BQBA41
BPBA?如图8，当⊙H与BC相切时，PQ⊥BC，就是，t＝1． BQBC
如图9，当⊙H与AC
相切时，直径PQ?
半径等于FC＝4
8． 解得t?128，或t＝0（如图10，但是与已知0＜t＜2矛盾）． 73
4 / 82
图7图 8 图9 图10
例3 2012年苏州市中考第29题
121bx?(b?1)x?（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交444
于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
如图1，已知抛物线y?
图1
满分解答
b)． 4
（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC． 因此PD＝PE．设点P的坐标为(x, x)．如图3，联结OP．
1b15所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝??x??b?x?bx＝2b． 2428
161616解得x?．所以点P的坐标为(,)．
555（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0,
图2图3
11b1（3）由y?x2?(b?1)x??(x?1)(x?b)，得A(1, 0)，OA＝1． 4444
①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．
5 / 82