摘要：Lorenz方程是描述混沌现象的第一例有名的方程。本文从气象学和解的稳定性两方面对Lorenz模型进行概述，然后对此模型作了数值分析，基于稳定性讨论了程序设计并用MATLAB语言编写程序进行了求解，对数值解在图形上进行了描绘，最后对数值解的收敛性及稳定性进行了分析。
关键词：Lorenz模型 数值解 收敛性 稳定性
第一章 Lorenz模型概述
本文要研究的Lorenz方程形式如下：
其中参数a=10,b=,c=28，初值条件为。
当时，原点是Lorenz方程的唯一平衡点。取李雅普诺夫函数
，
容易验证
，
因定正、定负，原点是渐进稳定的。Lorenz方程的所有轨迹均趋于原点。
当时，原点仍是Lorenz方程的唯一平衡点。但，，，出现叉式分支，原点不稳定。
而当时，原点不稳定。且此时除原点外还出现两个异于原点的平衡点（，，），（,,），对称于轴。对此两平衡点，考虑在平衡点处线性化Lorenz方程，可求得特征方程为。
因，特征方程系数均大于0，实特征根必为负根。知平衡点，渐近稳定的条件是，或，，其中。
当时，，特征方程有一对共轭纯虚根，出现分支；当时，特征方程除一负根外有一对共轭复特征根，其实部为正，对空间线性微分方程，这种空间平衡点为鞍焦点，空间轨迹投映于平面上为焦点和鞍点状。
固定a=10,b=进行讨论，易知此时=24.7368。当时，Lorenz方程的所有轨线趋于原点；当时，存在原点和平面上三个平衡点。当时，平衡点是稳定的；当时，平衡点不稳定，属鞍焦点。因为此时=28，所以平衡点不稳定，属鞍焦点。
取参数的不同值，我们可以通过数值解画出Lorenz方程在相空间的轨迹图貌。当时，由原点出发的两条轨迹各自分别趋于两平衡点，；在处，出现同宿轨；当时，出现由原点出发的两条轨线各自分别绕过一平衡点趋于另一平衡点，并在相空间中可能存在闭轨线或其他复杂轨线；当时，由于两平衡点，属鞍焦点，相空间中的轨线更为复杂。对大的参数值，Lorenz方程的解往往是周期的，具体轨迹图貌我们可以从文献[2]中看到。
第二章 用数值解法来求解Lorenz模型
Lorenz方程为
其中a>0，b>0。
Lorenz方程是一个三变量的常微分方程组，令a(y-x)=0，-xz+cx-y=0，xy-bz=0得到方程的平衡点：
O（0，0，0），（，，），（，,）
取a=10，b=28，c=得到三个平衡点：O（0，0，0），（，，27），（,,27）。
在平衡点O（0，0，0），将方程（2.1.1）线性化，其雅可比矩阵为
，
令可以得到对应的平衡点O（0，0，0）的特征值为
=-22.8277，=11.8277，=-2.6667，
可知以上的是正实数，，是负实数，所以O（0，0，0）是鞍点。易知平衡点O（0，0，0）是不稳定点。
对于平衡点（，，27），将方程（2.1.1）线性化，其雅可比矩阵为
，
令可以得到对应的平衡点（，，27）的特征值为
=-13.8546，=0.094+10.1945 ，=0.094-10.1945 ，
这里是负实数，，是一对具有正实部的共轭复数，因此是鞍式焦点，所以平衡点也是不稳定点。
对于平衡点（,,27），将方程（2.1.1）线性化，其雅可比矩阵为
，
令可以得到对应的平衡点（,,27）的特征值为
=-13.8546，=0.094+10.1945 ，=0.094-10.1945 ，
这里是负实数，，是一对具有正实部的共轭复数，因此是鞍式焦点，所以平衡点也是不稳定点。
通过以上的分析我们可以知道，Lorenz方程的平衡点都是鞍式焦结点。
总结
本文从描述混沌现象第一例的有名的Lorenz方程出发，引出了气象学的背景知识，指出了气象学发展所取得的一系列成就。通过用数值解法来对Lorenz方程进行求解并在计算机上模拟，发现此方程具有极丰富的分支和混沌性态。又讨论了数值解的稳定性和收敛性，通过前人的研究成果，得出了龙格-库塔法的优点。龙格-库塔法可以构造高阶精度方法来求解初值问题，因此它一直受到人们的重视，至今仍是实际应用的重要方法。另外只有当龙格-库塔法既收敛又稳定时，公式才有实用价值。此外因为单步法具有收敛性和稳定性，所以我们得出了龙格-库塔法的收敛性和稳定性。
参考文献：
[1]段若溪 姜会飞．农业气象学[M]．北京：气象出版社．
[2]王高雄等．常微分方程[M]．3版．北京：高等教育出版社，2006．7(2007重印)：10-11．
[3]Lorenz E N.Deterministicnon-periodicflows[J].AtmosSci,1963,20:130-141.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文