《数学课程标准》强调，在数学教学中要加强学生能力与思想方法的培养，能力是核心（包括运算能力、逻辑推理能力、分析和解决问题的能力等），思想是重点（包括分类讨论思想、数形结合思想、模型思想等）。所谓数形结合思想，就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过数与形之间的相应和转化来解决数学问题的思想方法，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面。利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之优点，是优化解题过程的重要途径之一，也是中学数学中重要的思想方法。下面，本人谈谈运用数形结合的思想方法解决数学问题的思维及方法。
一、数形结合，巧设思路
例1 已知： a2+b2=1， x2+y2=1，ax+by=0，求证：a2+x2=1，b2+y2=1 ， ab+xy=0 。
从题面看是代数题，但用“纯代数系统”的方法求解有困难，若借助三角代换，变为三角函数问题，可妙解此题。令a=cos,b=sin,x=cos,y=sin，那么0=ax+by=coscos+sinsin=cos（-）， 得 =++k(k∈Z)，因此， a2+x2=cos2+cos2=cos2（++k）+cos2=sin2+cos2=1。其他两个结论也不难证，原题也可以用解析法证明。由条件知，点A（a,b） 、 B（x,y）都在单位圆上，且满足ax+by=0 ，如图1，A 点的横坐标、纵坐标分别和点的纵坐标、横坐标的绝对值相等，但有一对符号相反。从图1看，因两个三角形全等，容易证明结论成立。比较两个证明方法，解析法的困难是把原条件变为解析条件，若把原条件变为三角条件，则较容易，证明时却比解析法略困难些，但两者都比直接用代数法容易下手。
例2 解不等式x-2+x+1≥5.
这类不等式通常是用分段讨论来求解的，但解法较烦。若能找到此不等式的几何意义，数形结合，则可简解如下。解 ： x-2,x+1，表示数轴上的点x到定点2 和-1 的距离。∵ -1和2 相距 3，观察数轴可得x＜2或x＞3.
二、借助方程，数形结合
列方程（组）解应用题，比算术法要优越得多。同样对于平面几何问题，若能恰当地设置未知量，列出方程（组）去解决问题也是数形结合的思想方法。
例3 在直角梯形 ABCD中,垂直于底边的腰AB=7 ,上底 AD=2，下底BC=3 ，如果边AB上的点P，使得以P、A、D 为顶点的三角形相似，那么，这样的点P有（ ）：A.1个、B.2个 、C.3个 、D.4个。
思考方法 ：若从纯几何角度实难判断，现结合代数方法思考：设AP=x，则PB=7-x。 ⑴若△PAD∽△PBC ,则=，∴ x=＜7 ，符合条件。 ⑵若△PAD∽△CBP ,则= ，∴x1=1,x2=6 也符合条件，故选C.
三、通过函数，沟通数形
函数是中学数学教学中最重要的内容之一，学习函数后许多几何问题、三角问题，都可以抽象为代数中的函数问题，而从函数图像的性质研究，又能发现函数的变化规律。因此，函数是沟通数形的一个概念，应用函数解题也是数形结合的思想方法。
例4 △ABC中，∠C=60° , BC=a,AC=b , a+b=8,求△ABC的面积S的最大值。
解：选择边BC的长a为自变量，让a在区间（0,8）内取值，则面积是S自变量a的函数，这个函数的表达式是S=absinC=a（8-a）sin60°=-a2+2a ，利用代数配方法，可求出S的最大值为4，也可画出二次函数的图像。如图3所示，其最高点坐标如图所示。因此，S的最大值为4.
四、联想几何意义，数形结合
例5 求Y=-的最小值.
解法1：将原函数变形为Y=+构造一个长为4，宽为3的矩形，再切割成12个单位正方形。 如图4，设KH=x ，则EK=2-x，KF=2+x ，AK=,KC=，根据三角形性质得AK+KC≥AC=5，当A、K、 C 三点共线时，等号成立. 故函数y=-的最小值是5.
解法2：由= ，发现此式与两点间的距离知识有关，于是假设两点P（x,0），A（-2,1），则PA=.同样设 P（x,），B（2,-2）则PB=, 就有y=PA+PB， A、B 是两定点，而P是x轴上的一动点，在什么情况下， y的值最小呢？显然，当点P在线段AB上时， y=PA+PB最小，此时最小值是5.
总之，数形结合思想是沟通代数学和几何学的桥梁，以数促形，将形融数，数形相辅，既能开阔学生的解题思路，又能提高综合解题的能力。因此，我们要在平时的教学过程中，引导学生多观察、多实践，使学生自觉、主动地运用数形结合的思想和方法去解决某些数学问题。
（通渭县马营中学）