篇一：2009年交通大学自主招生考试数学试题
lass="txt">一、填空题：（每题5分，共50分）1．第一位将欧几里得的《几何原本》译成中文的中国明代学者是____ ；毕业于上海交通大学，在拓扑学和机器证明上作出突出贡献的是____．
2．某商店失窃，赵、钱、孙、李四人涉案被拘审，四人口供如下：赵说“孙是窃贼”钱说“李是窃贼”；孙说“如果我作案，那么李是主犯”；李说“我没有偷”．已知四个口供中只有一个是假的，可以断定，说假话的是________；作案者是____．
3．在边长为80 cm的正方形地砖上随机投掷一枚半径为10 cm的圆盘，圆盘中心始终在地砖内，则圆盘压在地砖边上的概率是____．
4．如图，用两个钢珠测算一圆柱形工件的内直径D，若半径为r1的钢珠上端与孔口平面距离为H1，半径为r2的钢珠上端与孔口平面距离为H2，则D?________．
5．如果抛物线y?ax?bx?c过A??3,2?、B
?5,2?两点，那么??1?____．
2
OB、OC、OD，6．从空间一点O发出4条射线OA、其两两所成的角均相等，则这些角的大小是．
7．已知arctanx?arccosx，则x?____．
8．设?an?是公差d?0的等差数列，从中选出部分项以原次序可组成等比数列ak1，ak2，?，akm，若
k1?1,k2?5,k3?17，则k1?k2?????km?．
9．设x?
11
?2cosA，则xn?n?． xx
10
．函数y?的值域是 ．
二、解答题：（本大题共50分）
1．（本题10分）众所周知，指数函数a恒大于0．且有如下性质x1?x2，若实数a1?a2；对任意二实数x1,x2，有a1
x?x2
xxx
?ax1ax2．如果一个函数f?x?满足类似两个性质，即：若实数x1?x2，则
f?x1??f?x2?；对任意二实数x1,x2，有f?x1?x2??f?x1?f?x2?．能否判断f?x?也恒大于0？说
明你的理由．
16?22．（本题10
分）已知m≤
n?0，求y????m?n?的最小值．
n?2
3．（本题10分）求有限集A??a1,a2,???an?，其中a1,a2,???an为互不相等的正整数，使得
a1a2???an?a1?a2?????an．
4．（本题10分）设n与k均为正整数，令fk?n??1k?2k?????nk．已知
n2nn3n2n222
f1?n??1?2?????n??，f2?n??1?2?????n???，
22326
n4n3n2
f3?n??1?2?????n???，试观察上述各式右端的多项式的系数，说出其特点，进而求出
424
3
3
3
f4?n?．
5．（本题10分）下图是一个由9个小的九官格组成的9×9的方格，请运用已经显示的数字，确定每个空格中的数字，使之符合以下个条件：(1)每一行和每一列中的9个数字必须是不重复的1到9；(2)每一个小九官格中的9个数字必须是不重复的l到9．你填写的每一个数字都必须是依推理唯一确定的．本题你只要填满任何4个小九官格就算完成．
2009年交通大学自主招生考试试题参考答案
一、填空越（每题5分，共50分）1．[答案]徐光启；吴文俊．2．[答案]李；李和孙．
7． 16
80?80?60?6060?10?2?80?10?2
[解答]P?（或）．
80?8080?80
3．[答案] 4．[答案]
r1?r2
[解答]如图，OO12?r1?r2,O1M?H2?r2?H1?r1，∴
D?r1?r2?MO2?r1?r2 5．[答案]?1．
[解答]依题意，抛物线的对称轴是x?1，所以?所以??1??1．
b
?1?2a?
b?0．
2a
1． 3
B、C、D构成正四而体的四个顶点，正四
[解答1]在四条射线上截取OA?OB?OC?OD?1，则A、
6．[答案]??arccos面体梭长AB?
1，易得cos?AOB??，所求角为
33
??arccos．
[解答2]如图，在正方体中截取正四面体ABCD，设O是正方体的
中心，易得
1
3
11
cos?AOB??，所以?AOB???arccos．
33
7．[答案
2
[解答
]tan?
arccosx??x或x?（舍）． ?
x?x2?
∴x?
0≤x≤1）
．∴x? m
8．[答案]3?m?1．
2
[解答]由a5?a1a17??a1?4d??a1?a1?
16d?，得
a1?2d．
2
等比数列公比q?
a5
?3，akn??kn?1?d?2d3n?1． a1
所以kn?23n?1，k1?k2?????km?3m?m?1．9．[答案]2cosnA．
?x?cosA?isinA,?
[解答1]解方程，得?1
?cosA?isinA,??x
1
?cosnA?isinnA?cosnA?isinnA?2cosnA． nx
1n
[解答2]用数学归纳法证明：x?n?2cosnA．（过程略）
x
∴x?
n
10．[答案
] ??? ?
sin?
，表示半圆上一点(cos?，sin?) 与
cos??2
[解答1]x∈??1,1?，令x?cos?，???0,??，则y?
?y?点??
2,0?连线的斜率，由图形知?．
??
[解答2]因x∈??1,1?，令x?cos?，???0,??，则y?
sin?
．
cos??2
由辅助角公式，得sin??ycos????????
2y2y． 又因为y≥
0，所以y??0,
??． 3?
二、解答题（本大题共50分）
1．[解答] f?x??0恒成立，下面证明这个结论． 取x1?x2?0，则f
2
?0??f?0?，∴f?0??1或f?0??0．
若f?0??0，则f?x?0??f?x?f?0??0，即f?x??0，与题设性质矛盾． ∴f?0??1． 取x1?x2?
x2?x?，则f?x??f??≥0． 2?2?
若f?
?x??xx??x??x?，则?0f0?f??f???????f????0，矛盾．
?2??22??2??2?
∴f?
?x?
??0，∴f?x??0恒成立， ?2?
2．[解答]令
Am，B?n,
??16?2
?，点A在半圆C1：x?y?8?y≥0?上，点B在双曲线C2：?n?
y?
16
?x?0?上． x
2
原题转化为：在C1、C2上各取一点A、B，求y?AB的最小值．
162
先求点B到点(0，0)的最小值．∵BO?n?2≥32，当B为(4，4)
时，BOmin?2?
n
2
2
联结OB交C1于点A(2，2)．所以取A(2，2)、B(4，4)时，ABmin?8，即m?2,n?4时，ymin?8．3．[解答]不妨设a1?a2?????an．
∵当n≥4时，?n?1?!an?n，∴a1a2???an≥?n?1?!an?nan?a1?a2?????an．∴n≥4时，集合A不存在．当n?3时, a1a2a3?a1?a2?a3．
若a2≥3，则a1a2a3≥3a3?a1?a2?a3，集合A不存在，∴a2?2，则a1?1，解得a3?3．∴A??1,2,3?．
当n?2时， a1a2?a1?a2，∴?a1?1??a2?1??1．∴a1?a2?2．矛盾，集合A不存在． 当n?1时，此时A??a1?，无论a1取何正整数值，集合A都成立． 综上所述，集合A＝{1，2，3}或A??a1?（共中a1取任一正整数值）．4．[解答1]特点：①fk?n?可表示为n的k?1次多项式，且首项系数为 ②常数项为0，第k次项系数为 ③各项系数和为1．
2
1
； k?1
1； 2
n214
?n?bn3?cn2?dn?14?24?????n4． 设f4?n??
52
用n?1、2、3分别代入，得
篇二：2005年交通大学自主招生考试数学试题
ass="txt">一、填空题（每题5分，共50分）1．已知方程x2?px?
2．设sin8x?cos8x? 14?0?p?R?的两根x1、x
2满足x14?x2?2p=． 22p41???，x??0,?，则x? ． 128?2?
?1?3．已知n?Z，且?1???n?n?11????1???2004?2004，则n? ．
4．如图，将3个12cm×12cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部
分，将这6
部分接在一个边长为若拼接后的图形
是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积为 ．
5．
6．化简：22?42?62?82?…+??1?
7．若z3?1，且z?C，则z3?2z2?2z?20?．
8．一只蚂蚁沿1×2×3立方体表面爬，从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为 ．
9．4封不同的信放入4个写好地址的信封中，全装错的概率为为 ．
10．已知等差数列?an?中，a3?a7?a11?a19?44，则a5?a9?a16= n?1x、y?Q，则?x,y?=． ?2n?2?
二、解答题（本大题共50分）
1．已知方程x3?ax2?bx?c?0的三根分别为a、b、c，且a、b、c是不全为零的有理数，求a、b、c的值．
1
2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得
（1）最大角是最小角的两倍？
（2）最大角是最小角的三倍？
若存在，分别求出该三角形；若不存在，请说明理由．
ax2?8x?b3．已知函数y?的最大值为9，最小值为1，求实数a、b的值． x2?1
4．已知月利率为y，采用等额还款方式，若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m关于y的函数关系式（假设贷款时间为2年）．
5．对于数列?an?：1,3,3,3,5,5,5,5,5，…，即正奇数k有k个，是否存在整数r、s、t，使得对于任意正
?整数n
，都有an?rt?恒成立（?x?表示不超过x的最大整数）？
2
2005年交通大学自主招生考试试题参考答案
一、填空题（每题5分，共50分）
1
1．【答案】?2?8．
【解答】x44???x222
1?x21?x
?2x2?1?1
?2?1x2???2x2
1x2???p
2?p2???24p4 =p4?11?1
2p4?2?2??2?p=?28时取等号．
2．【答案】?
6或?
3． 【解答】设sinxcosx?t，因为x??????1?
?0,2??，所以t???0,2??．
由sin8x?cos8x?412
128，得?1?2t2??
2t4?41
128，即256t4?512t2?87?0．
解得t2?3
16或t2?29
16（舍）．所以sinxcosx?x???
6或3．
3．【答案】-2005．
n?1??n?1?2004
【解答】???1?1?
n??????1?1?
?n???，比较得n??2005．
??1???1?
?1?2004??
4．【答案】864cm3．
【解答】如图，所得到的多面体相当于将四面体V?ABC截去三个角V1?ADI、
V?BEF、V?ABC相似，相似比为1
23?CGH，这三个小四面体都与V3，
且V?ABC的三条侧棱两两互相垂直，VA?VB?VC?18．所以多面体体积为
183?3
6?1???
?1?
3??
?3?=864．
?????
5．
【答案】??
31?
?22??．
2x?y?
3
又因为x、y?Q，且x?y，所以x?y?2，xy?
6．【答案】??1?
n?1331，解得x?，y?． 4222n?n?1?． 【提示】按n的奇偶性分类讨论，或找规律．
?25,z?1;7．【答案】? ?19,z?1．
【解答】由z3?1，得?z?1?z2?z?1?0，故z?1或z2?z?1=0．
又因为z3?2z2?2z?20?2z2?z?1?18?z3，所以
当z?1时，上式=25；当z2?z?1=0时，则上式=19．
8．
【答案】
【提示】看侧面展开图（有三种不同情况）．
9．【答案】；0． 【解答】全装错的概率是
10．【答案】33．
【解答】a3?a7?a11?a19?44?2a11?2a9?44?2?a11?a9??44?a10?11
则a5?a9?a16?a10?a11?a9?3a10?33．
????3893?；只有一封信装错是不可能事件，概率是0． P48
二、解答题（本大题共50分）
?a?b?c??a… （1）?1．【解答】由韦达定理，得?ab?bc?ca?b…（2）
?abc??c…（3）?
?b??2a,若c?0，则?∴?2a2??2a，即a?0或a?1． ?ab?b,
∴?a,b,c???1,?2,0?．
若c?0，由（3）式，得ab??1，代入（2），得c?a?b??b?1，而由（1），得c??2a?b，
4
b?1??2a2?b2?3ab?b?1． ?2a?b
2∴b2?b?2??2a2??2，即?b?1?b3?2b?2?0． b∴a+b???
若b3?2b?2?0有有理根??q，其中?p,q??1，p、q?Z，则q3?2p2q?p3． p??
∴q为偶数，令q?2k，k?Z．
代入得p3?2p2k?2k3，∴p也为偶数，这与?p,q??1矛盾．
∴b3?2b?2?0无有理根．
∴b?1?0，b??1．∴?a,b,c???1,?1,?1?
综合上述，?a,b,c???1,?2,0?或?1,?1,?1?．
2．【解答】设三角形三边长为n?1、n、n?1?n?2,n?Z?，它们所对角分别为A、B、C ?A?B?C?．????
?n?1?（1）由余弦定理，得cosA?
?n?1?cosC?22?n2??n?1?22nn?1n?4． 2n?1?n?4， 2n?1?n2??n?1?2
2nn?1?
若C?2A，则cosC?2cos2A?1．
代入化简，得2n3?7n2?17n?10?0，即?2n?1??n?2??n?5??0．
∴n?5，该三角形三边长为4、5、6．
（2）如图，设∠A??，则∠C=3∠A=3?，过点C作CD交AB于点D，使∠ACD??，
∴△ACD为等腰三角形
又∠BDC?2??∠BCD，∴△BCD也为等腰三角形．
∵BD?BC?n?1，AD?DC?2，
cos?BCD?cos2??1n，cos?DCA?cos??， n?14
1n2
??1．整理，得nn2?n?8?0，n无正整数． ∴n?18
∴满足条件的三角形不存在． ??
3．【解答】将函数表达式整理，得?y?a?x2?8x?y?b?0，
由判别式??64?4?y?a??y?b??0，得y2??a?b?y?ab?16?0．
依题意，上述不等式解集为?1,9?．
5
篇三：西安交大自主招生题目
txt">西安交大面试采取分组交互式比较型面试法，5位专家在60分钟的时间内共同面试5名学生，面试顺序由考生本人抽签决定。面试涉及物理、经济学等方面的考查，注重对学生生活常识、逻辑推理能力的考查。面试专家组包括：英语专家1人，心理专家1人，人文社科专家1人，自然科学家1人以及组长一人，理科组长由1名自然科学专家担任，文科组则由1名人文社科专家担任组长。
面试题则由计算机随机组卷，并互不重复。面试项目依次有：
1、英语自我介绍与英语交流，考察学生自我认知与英语听 说能力;
2、人文素养与心理素养，考察学生相应素质;科学知识应用，考察学生观察、 反应、分析和解决问 题的能力;
3、创新思维，考察学生 创新意识和创新能力;
4、小组辩论，考察学生语言表达、逻辑思辨、总结提炼等方面的能力。
面试考题：
1.一个铜质的球和一个铝质的球，外形、体积一样，重量不一样，在不破坏球体的情况下，如何区分材质。
2.一个人从100米的悬崖上掉下来却没有摔死，为什么？
3.建立“天空”与“钟表”两个词汇之间的联系。
4.解释一下太阳能电池的工作原理，并谈一下未来的应用。
5.一个人用8块钱买了一筐鸡蛋，9块钱卖出去了，后来觉得有点亏，又花10块钱买了回来，结果11块钱又卖了出去，这个人挣了多少钱？
6.把一张百元钞票放在小孩张开的食指和中指之间，当你发出指令并松手，除非侥幸，99%的人无法用手指夹住纸币。请问为什么？
西安交通大学自主招生面试真题
面试采用分组交互式比较型面试法，由5位专家在1小时里共同面试5位考生。专家通过考察学生个人独立表现、与其他考生互动协作中的表现，为考生评分。
面试专家组构成为：英语专家1人，心理专家1人，人文社科专家1人，自然科学专家2人（其中1人为组长）。面试时间为1小时，面试环节包括：英语自我陈述与英语交流、人文素养考察、科学素养考察、创新思维考察、小组辩论、心理素养考察。各位专家分别基于自己的专业特长重点考察考生的相应素质。
（一）社会科学
1、材料：贞观之治，开元盛世?? 请你谈一谈你对“善治”的理解?
2、（古典名著关于君子） 请你谈一谈对君子的理解?
3、 美国组件网络信息部队，谈一谈你的认识。
（二）自然科学
1、自然界中为什么没有黑色的花?
2、两张纸中间吹一口气，纸会吸在一起，为什么?
3、电动汽车面临的问题?有什么改进方法?
4、 根据窑洞冬暖夏凉的现象，解释为什么下雪桥上汽车易打滑?
（三）综合创新：请你谈一谈3D打印的利弊
（四）小组讨论：对茅台、五粮液的处理与国内拉动内需政策矛盾吗?