篇一：2012年华约自主自主招生数学试题及详解
2012年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）
数学部分
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。 （1）在锐角?ABC中，已知A＞B＞C,则cosB的取值范围为（ ）
(A) ?0,
?
??
?1???
(B) (C)
(D) 0,1? ?????,????2??22??2?
（2）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红
棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ）
(A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种
（3）正四棱锥S?ABCD中，侧棱与底面所成角为?，侧面与底面所成二面角为?，侧棱SB与
底面正方形ABCD的对角线AC所成角为?，相邻两侧面所成二面角为?， 则?,?,?,?之间的大小关系是（ ）
(A) ?＜?＜?＜? (B) ?＜?＜?＜? (C) ?＜?＜?＜? (D) ?＜?＜?＜?
（4）向量a?e，e?1。若?t?R，a?te?a?e则（ ）
(A) a?e (B) a?(a?e) (C) e?(a?e)(D) (a?e)?(a?e)
（5）若复数
w?1w?1
的实部为0，Z是复平面上对应
11?w
2
的点，则点Z?x,y?的轨迹是( )
(A) 一条直线 (B) 一条线段(C) 一个圆(D)一段圆弧
（6）椭圆长轴长为4，左顶点在圆(x?4)??y?1??4上，左准线为y轴，则此椭圆离心率的
2
取值范围是（ ）
(A) ?,? (B) ?,? (C) ?,? (D) ?,?
?84??42??82??24?
（7）已知三棱锥S?ABC的底面ABC为正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是?SBC的垂心，二面角H?AB?C为30°，且SA?2，则此三棱锥的体积为（ ）
(A)
12
?11?
?11?
?11?
?13?
(B)
2
(C)
4
(D)
34
（8）如图，在锐角?ABC中，AB边上的高CE与AC边上的高BD交于点H。以DE为直径作圆与AC的另一个交点为G。已知BC?25，BD?20，BE?7，则AG的长为（ ）
8 (B)(A)
425
(C)10(D)
2n?3n
2
545
（9）已知数列?an?的通项公式为an?lg(1?
limSn?（ ）
n??
)，n?1,2,???。Sn是数列的前n项和。则
(A) 0 (B)lg
32
(C) lg2 (D) lg3
10
10
（10）已知?6?xi?10(i?1,2,???10),
?x
i?1
i
2
?50，当?xi取得最大值时，在x1,x2,???x10这十
i?1
个数中等于?6的数共有（ ）
(A) 1个 (B)2个(C)3个 (D) 4个 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （11）(本小题满分14分)
在?ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c。已知2sin① 求C的大小
② 若c?2b?2a，求cos2A?cos2B的值
（12）(本小题满分14分)
????????????2
已知两点A??2,0?,B?2,0?，动点P在y轴上的射影是H，且PA?PB?2PH
2
2
2
2
A?B2
?1?cos2C
① 求动点P的轨迹C的方程
② 已知过点B的直线交曲线C于x轴下方不同的两点M,N，设MN的中点为R，过R于
点Q?0,?2?作直线RQ，求直线RQ斜率的取值范围。
（13）(本小题满分14分)
系统中每个元件正常工作的概率都是p(0＜p＜1)，各个元件正常工作的事件相互独立，如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作。系统正常工作的概率称为系统的可靠性。
（1） 某系统配置有2k?1个元件，k为正整数，求该系统正常工作概率的表达式
（2） 现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件。试讨论增加两个元件后，能否提高
系统的可靠性。 (14) (本小题满分14分)
记函数fn(x)?1?x?
x
2
2!
?????
x
n
n!
,n?1,2???证明：当n是偶数时，方程fn(x)?0没有实
根；当n是奇数时，方程fn(x)?0有唯一的实根?n
，
且?n＞?n?2。
(15) (本小题满分14分)
某乒乓球培训班共有n位学员，在班内双打训练赛期间，每两名学员都作为搭档恰好参加过
一场双打比赛。试确定n的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案。
2012年华约数学参考答案
一、选择题
ACBCA B略DDC 二、解答题
11解：（1）C=2/3∏；（2）cos2A?cos2B=3/4 12解：
AP?BP?2PH
2
222（1）设P(x,y),则H(0，y),由得（x?2,y）?(x-2,y)?2x,即y-x?4
（2）令CD:x?my?2(m?0)代入y2?x2?4，整理得
(1?m)y?4my?8?0
2
2
因为直线在x轴下方交P点轨迹于C(x1,y1)，D(x2,y2)两点所以上式有两个负根，由 ?1?m2?0?22
???16m?32(1?m)?0?4m?y1?y2?0?1?m?2 2
1?m?
??8
?0?y1y2?2
1?m?
根据韦达定理，得CD中点M的坐标为
M(
x1?x2
2
,y1?y2
22k1?m
2
2
)?(
21?m
2
,
2m1?m
2
)
代入直线MQ的方程y+2=kx,(k为其斜率)得
2m1?m
2
?2?
12)?
2
所以，k=?m?m?1??(m?
K?1
54
?(2?1,1),(1?m?2).
13解答：显然PK?
?C
n?0
n
2k?1
(1?p)p
n2k?1?n
,
nnn?1n?2
注意到C2k?1?C2k?1?2C2k?1?C2k?1，
k
n
n2k?1
所以PK?1=?C
n?0
(1?p)p
2k?1?n
k
=
k
?(C
n?0
n2k?1
?2C2k?1?C2k?1)(1?p)p
n?1n?2n2k?1?n
k
k
n?12k?1
=n?0
k
?C?C
k?1
n2k?1
(1?p)p
n2k?1?n
?2?C
n?1k
(1?p)p
n2k?1?n
?
?
n?2k
C2k?1(1?p)p
n?2n2k?1?n
C2k?1(1?p)
n?2
n?2
n2k?1
(1?p)p
n2k?1?n
=n?0
?2?C
n?0
n?12k?1
(1?p)
n?1
p
2k?n
?
?
n?0
p
2k?1?n
=n?0
?C
k
n2k?1
(1?p)p
n2k?1?n
(p?2(1?p)p?(1?p))
22
k
k?1
?C2k?1(1?p)p
k?1
?C2k?1(1?p)
2k?1?n
k
k?1k?1
p
k
k
k
=n?0 =
?C
n2k?1
(1?p)p
n
?C2k?1(1?p)p(p?(1?p))
PK?C2k?1(1?p)
kK
p(2p?1)
k
12
因此，当p≥14证明：
12
时，{pk}递增，当P≥时，{pk}递减。
用数学归纳法证明f2n?1(x)?0有唯一解x2n?1且严格单调递增，f2n(x)?0无实数解，显然n=1时，
x
2
此时f1(x)?1?x有唯一解x1??1，且严格单调递增，而f2(x)?1?x?
2
无实数解，现在假设
f2n?1(x)?0有唯一解x2n?1且严格单调递增，f2n(x)?0无实数解，于是注意到f2?n?1(x)?f2n(x),f2n?1时，对任意的0≤k≤n有x+2k+1≤0,于是
n
f2n?1(x)?
?((2k)!?(2k?1)!(x?2k?1)，所以f
k?0
x
2k
x
2k
2n?1
(?2n?1)?0,
又因为f2n?1(0)?1?0,所以由f2n?1(x)严格递增知f2n?1(x)?0有唯一根0?x2n?1??2n?1， 对于f2n?2(x)有f2n?2?f2?n?2(x)?f2n?1(x)，所以（—∞，x2n?1）上，递减，在（x2n?1，+∞）上，递增，所以
minf2n?2(x)?f2n?2(x2n?1)?
x?R
x2n?1
2n?2
(2n?2)!
?
x2n?1
2n?2
(2n?2)!
?0,
篇二：华约自主招生数学真题
2013年华约数学真题
2012华约数学真题
篇三：2014年华约自主招生数学试题
2014年“华约”自主招生数学试题
一、解答题 ( 本大题 共 7 题, 共计 0 分)
1、(0分)
已知正整数x1,x2,x3,x4,x5满足任取四个数求和构成的集合为{44,45,46,47},求正整数x1,x2,x3,x4,x5的值.
2、(0分)
一场比赛在甲、乙之间进行,采取五局三胜制,已知甲赢一局的概率为p(p>),设甲赢得比赛的概率是q,求q-p的最大值,及取最大值的p值.
3、(0分)
已知函数f(x)=(cosx-sinx)sin(x+)-2asinx+b(a>0)的最大值为1,最小值为-4,求a,b的值.
4、(0分)
对于函数f(x),记f(x)是它的反函数.定义(f
-1
g)(x)是关于函数f和g的复合函数,即有(fg)(x)=f(g(x) ),证明:
&&
(1). (fg)-1(x)=(g-1f-1)(x);
(2).设F(x)=f(-x),G(x)=f-1(x),若F与G互为反函数,那么f(x)为奇函数.
5、(0分)
已知椭圆
小值.
+=1(a>b>0),过椭圆上一点M作圆x+y=b的两条切线,切点为P,Q,设直线PQ与x轴、y轴分别交于点E,F,求△EOF的面积的最
222
6、(0分)
设数列{an}满足:an+1=np+qan,a1=0.
n
&&
(1).若q=1,求{an}的通项;
(2).若|p|<1,|q|<1,证明数列{an}必有界.
7、(0分)
设n是正整数,实数x满足x≤n,证明:n-n(1-)e≤x.
nx2
2014年“华约”自主招生数学试题答案
一、解答题 ( 本大题 共 7 题, 共计 0 分)
1、(0分) 答案：解:记
S=xi,若x1,x2,x3,x4,x5两两不等,那么对?i,j∈{1,2,3,4,5}(i≠j)都有S-xi≠S-xj,这样x1,x2,x3,x4,x5任取四个数
求和一共有5个不同的值,这与条件矛盾.
于是x1,x2,x3,x4,x5中必有两个数相等,据对称性,不妨设x1=x2=a,x3=b,x4=c,x5=d,则问题变为:对正整数a,b,c,d,集合
{a+b+c+d,2a+b+c,2a+b+d,2a+c+d}={44,45,46,47},注意到集合元素的表达形式关于a对称,于是据对称性,只需要讨论a在序列a,b,c,d中的大小.
情形(1):a<b<c<d,
这时由集合的对应原则得到,于是得到4a=39,矛盾.
情形(2):b<a<c<d,同(1)
的证明可得情形(3):b<c<a<d,同(1)亦有4b=39,矛盾.
情形(4):b<c<d<a,同(1)亦有4b=38,矛盾.
综上所述,x1,x2,x3,x4,x5的值为x1=x2=11,x3=10,x4=12,x5=13及其转换.
2、(0分) 答案：解:设比赛了ξ局.
当甲用3局取胜,则q(ξ=3)=p;
3
当甲用4局取胜,则q(ξ
=4)=(1-p);
3
当甲用5局取胜,则q(ξ
=5)=(1-p).
32
于是q=p+3p(1-p)+6p(1-p)=p(10-15p+6p),
333232
令f(p)=q-p,由q的表达式,我们有f(p)=6p-15p+10p-p,则
543
f'(p)=(
p-1)(
2
p-p+1),
2
又因为
p-+1≥1>0,因此我们得到f(p)的极大值点为p0
=
2
所以f(p)≤f(p0
)=
·即当
p=,q-p
取最大值
·
3、(0分) 答案：解:f(x)=(cosx-sinx)(cosx+sinx)-2asinx+b=-sinx-2asinx+b+记t=sinx,则t∈[-1,1],令g(t)=-t-2at+b+,则由题意知g(t)max=1,g(t)min=-4.
22
若a∈(0,1],那么g(t)max=g(-a)=a+b+=1,故a+b=
22
再由二次函数的性质,g(t)min=min{g(1),g(0)}=-2a+b-故2a-b=??②.
①+②得a+2a=4,解出a=
2
-1>1,这与a∈(0,1]矛盾.
下设a∈(1,+∞),再由二次函数性质可知g(t)max=g(-1)=2a+b-=1,
g(t)min=g(1)=-2a+b-
由此解出综上,所求的a,b=-1.
4、(0分) 答案：证明:我们的证明用到反函数这样的性质:y=f(x)?x=f(y).
-1
(ⅰ)由上述性质知y=(fg)(x)?=f(g(y) )(视g(y)为整体)
-1
?f(x)=g(y)(视f(x)为整体)?g(f(x) )=(g
-1-1-1-1-1
)(x)=y,
-1
所以(fg)(x)=(g
-1-1
f)(x)成立.
-1
(ⅱ)由性质知y=G(x)=f(-x)?G(y)=f(-y)=x?-y=f(x)
-1-1
?y=-f(x)=G(x),又由题设知F(x)=G(x),于是f(-x)=-f(x),即f是奇函数,成立.
-1-1
5、(0分) 答案：解:首先我们推导解析几何中一个性质:平面上有圆O:x+y=r,圆外有点P(x0,y0),过P作圆O的切线,切点为A(x1,y1),B(x2,y2),那么由圆上点的切线公式,我们有P
在直线
与直线
222
的交点上,
于是有所以据方程组及两点确定一条直线,我们有A,B在直线xx0+yy0=r上.
2
回到本题,因为M在椭圆上,可设M(acosθ,bsinθ),由上述性质我们有直线PQ的方程为acosθx+bsinθy=b,
2
于是我们得到
E(
,0),F(0,所以△EOF的面积
S=
≥,所以△EOF
的面积的最小值为
6、(0分) 答案：解:(ⅰ)若p=1,则an=an-1+(n-1)=?=a1+(n-
1)+?+1=.
若p≠1,则an=an-1+(n-1)p=?=a1+(n-1)p+?+1·p,
n-1n-11
即an=(n-1)p+?+1·p??①,
n-11
则pan=(n-1)p+?+1·p??②,
n2
由错位相减法的知识,②-①得an
=
.