抽象函数就是没有给出具体的函数解析式，只给出体现函数特征的一类函数．下面介绍几种解决抽象函数问题的常用方法． 1．合理赋值，巧妙转化 赋值的基本思路是将所给函数的性质转化为条件等式，在条件等式中对变量赋予一些具体的值，构造出所需要的条件，其中赋予的具体值常常起到桥梁作用．
例1 （2009四川卷）已知函数f(x)是定义在R上的不恒为零的偶函数，且对任意的实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x)，则f［f(52)］=( )
?A.?0
?B.?12
?C.?1
?D.?52
解：f(x)是R上的偶函数，故f(－x)=f(x)，由已知xf(x+1)=(1+x)f(x)，令x=0，则f(0)=0，
令x=－12，
(－12)f(12)=12f(－12)得f(12)=0，再令x=12，12f(32)=32f(12)，得：f(32)=0，令x=32，32f(52)=52f(32)得f(52)=0，所以f［f(52)］=?f(0)?=0．故选?A?.
2．构造模型，推测验证
根据已知条件，寻找函数模型（一次函数、指、对数函数、三角函数模型），通过分析其函数图像或性质去推测验证抽象函数的性质，从而达到解决问题的目的．
例2 （2009年全国卷Ⅰ）f(x)的定义域为R， 若?f(x?+1)与f(x－1)都是奇函数，则（ ）
?A.?f(x)是偶函数
?B.?f(x)是奇函数
C.f(x)=f(x+2)
?D.?f(x+3)是奇函数
分析：f(x+1)与f(x－1)都是奇函数，说明函数?f(x)?的图像向左或向右平移一个单位都关于原点对称，故考虑三角函数．
解：令f(x)=?cos??π?2x，
则f(x+1)=?cos?(?π?2x+?π?2)=－?sin??π?2x是奇函数，
f(x－1)=?cos?(?π?2x－?π?2)=?sin??π?2x也是奇函数，
故f(x)=?cos??π?2x符合题意．
显然f(x)=?cos??π?2x是偶函数，且最小正周期为4，故排除?B、C．?
再令f(x)=?sin??π?x，显然f(x)=?sin??π?x是奇函数，故排除?A?．综上所述选?D?．
3．反复迭代，合理递推
迭代是不断用变量的旧值递推新值的过程，实际就是重复操作，对于递推关系的抽象函数问题，常用此法求解．
例3 （2009年山东卷）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)=－f(x)，且在区间［0,2］上是增函数，则（ ）
?A.?f(－25)2，f(x)>2x+4的解集为（ ）
?A.?(－1,1)
?B.?(－1,+∞)
?C.?(－∞,－1)
?D.?(－∞,+∞)
分析：由于f(x)的解析式不确定，注意到f(x)>2x+4的结构及f′(x)>2，则不妨构造函数h(x)=?f(x)?－(2x+4)．
解：设h(x)=f(x)－(2x+4)，则h′(x)=f′(x)－2>0，故h(x)在R上单调递增，又h(－1)=f(－1)－2=0，当h(x)>0时，x>－1，即f(x)>2x+4的解集为(－1,+∞)，故选?B．?
6．利用周期，化未知为已知
对于抽象函数求值（值域）问题，充分利用周期性，化未知为已知．
例6 （2011年上海卷）函数g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x)=x+g(x)在区间［3,4］上的值域为［－2,5］，则f(x)在区间［－10,10］上的值域为 ．
案为［－15,11］．
7．数形结合，抽象化为具体
数形结合就是把抽象的数学语言与直观的数学图形结合，通过“以数观形”、“以形助数”，使复杂的问题简单化，抽象问题具体化．
例7 （例3改编题）已知定义在R上的奇函数?f(x)，?满足f(x－4)=－f(x)，且在区间［0,2］上是增函数，若方程f(x)=m，m>0在区间［－8,8］上有四个不同的根x?1，x?2，x?3，x?4，则x?1+x?2+x?3+x?4= .
解：
由例3的解题过程可知，函数f（x）是以8为周期的函数，且关于直线x=2对称，在［-2，2］上单调递增.
如图所示，那么方程f(x)=m，m>0在区间［－8,8］上有四个不同的根x?1，x?2，x?3，x?4，不妨设x?1