数项级数敛散性的判定有一系列的判别法, 级数的形式复杂多变, 级数敛散性判定的解决方法比较灵活, 可以说每个级数都有其特点, 很难给出固定的解法.在非数学专业高等数学中, 一般只给出比较基本的判别法, 这样在解决判定级数敛散性的问题时, 判别方法的选择余地比较有限, 加大了级数敛散性判定的难度.数项级数可分为两大类: 正项级数和任意项级数, 在任意项级数中, 交错级数是主要研究的类型.判定交错级数的绝对收敛归结为正项级数的判定, 判定交错级数是否条件收敛, 许多情况下是用莱布尼茨判别法进行判定的, 文章主要讨论了函数单调性在交错级数条件收敛判定中的应用, 给出判定比较复杂的交错级数条件收敛的一种可行的方法。下面就函数单调性在级数敛散性判定中的应用谈几点看法.
一、 关于函数单调性
定理1 设函数f（x）在区间I可导.函数f（x）在区间I单调增加(单调减少)?对任意的x∈I, 有f′（x）≥0（f（x）≤0）.
由此定理, 设f（x）=x-ln（1+x）, 易证x>ln（1+x）（x>0）.
首先, 看一下函数单调性在证明调和级数
?∑∞n=1?
显然,limn→+∞（1+n）=+∞， 所以limn→+∞Sn=+∞, 由此得级数?∑∞n=1?
1n发散.
在上面的问题中, 利用函数的单调性比利用级数敛散性的定义更容易得到
?∑∞n=1?1n
发散的结果.函数单调性在交错级数
?∑∞n=1?（-1）?nun（un>0）条件收敛的判定中有类似的作用.
二、 关于交错级数有结论
定理2 (莱布尼茨定理) 如果交错级数
?∑∞n=1?（-1）?nun（un>0）满足条件:
（1） un≥un+1（n=1,2,3,…）;
（2） limn→+∞un=0，
则级数收敛.
定理中的条件(2)为极限运算, 较易计算出结果, 当交错级数表达式比较复杂时, 条件(1)如果再用数列的比较进行证明会比较困难.下面以几个例子说明函数单调性在条件收敛判定中的作用.
例1 判定级数
?∑∞n=1?（-1）?nln
1+1n
的敛散性.
解 易知 级数?∑∞n=1?ln
1+1n
发散,
limn→+∞ln
1+1n
=0.设f（x）=ln（1+x）, 则
f′（x）=
11+x（x>0）
由定理1, 知f（x）=ln（1+x）当x>0时单调上升, 又
1n>
1n+1（n=1,2,3,…）
条件收敛.
上例这种情况比较简单, 但已表明了函数的单调性主要用于证明判定交错级数条件收敛的莱布尼兹定理中条件(1).对于比较简单的级数表达式, 条件(1)可以较简单地看出, 当级数表达式比较复杂时, 用函数单调性的判定方法会比较容易地证明条件(1)的成立.
例2 判定级数
?∑∞n=1?（-1）?n
n?2+lnnn?3+1的敛散性.
解 因为
limn→+∞
n?2+lnnn?3+1
1n=
limn→+∞
n?3+nlnnn?3+1=1>0， 且
?∑∞n=1?
1n发散, 由比较审敛法的极限形式, 知
?∑∞n=1?
n?2+lnnn?3+1
发散.显然有
limn→+∞
n?2+lnnn?3+1=0, 在这里若用数列的比较方法来断定
un≥un+1（n=1,2,3,…）
是否成立比较困难, 但用函数的单调性来判断则比较容易.
事实上, 设f（x）=
x2+lnxx?3+1（x>0）, 则f′（x）=
-x?4-3x2lnx+x2+2x+1x
（x?3+1）?22）,
所以f（x）=
x2+lnxx?3+1（x>2）单调减少, 因此f（n）>f（n+1）, 即
un>un+1（n=2,3,4,…）.
综上可知?∑∞n=1?（-1）?n
n?2+lnnn?3+1条件收敛.
例3 判定级数
?∑∞n=1?（-1）?n
ln（1+n）n的敛散性.
解 类似于例2, 知
?∑∞n=1?
ln（1+n）n发散,
limn→+∞
ln（1+n）n=0.
设f（x）=
ln（1+x）x（x>0）, 则f′（x）=
xx+1-ln（1+x）x2e-1）, 所以
f（x）=ln（1+x）x?3+1（x>e-1）
单调减少, 得f（n）>f（1+n）, 即un>un+1（n=2,3,…）.
因此级数?∑∞n=1?（-1）?n
ln（1+n）n条件收敛.
前面给出了几个利用函数的单调性判定数项级数敛散性的实例, 事实上许多情况下级数敛散性的判定都会用到函数的一些性质得到所需结果.在非数学专业高等数学的学习中, 类似的方法有特别给出的必要, 以便使解决相关数学问题时有迹可循, 对一些数学基础相对薄弱的学习者会有更好的效果, 解决数学问题的各种方法也会随着教学实践的不断发展而更加完善.
参考文献
［1］ 刘玉琏, 傅沛仁.数学分析讲义［M］.北京: 高等教育出版社, 1992
［2］ 陈水林.工程应用数学［M］. 武汉: 湖北科学技术出版社, 2007
［3］ 同济大学应用数学系.高等数学(第五版)［M］.北京: 高等教育出版社, 2006
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