初中几何是研究平面图形的几何,最主要的是研究这些平面图形的性质,继而利用这些性质解决诸多实际问题。而这些千变万化的图形则由最基本,最简单的图形组合而成的,对于一个比较复杂的几何图形,如果我们能从中构造出最基本的图形,并且利用基本图形的性质来解决复杂图形的问题,可以促使问题顺利地得到解决,久而久之,学生们分析问题,解决的能力也得到进一步的提高,处理问题也会得心应手。
一、 基本图形指导新知识的学习
二、 利用基本图形解题
1. 直接利用基本图形
由于学生对基本图形比较熟悉,解决此类问题的速度也相对较快,只要利用好相似三角形的边角之间的关系就能迅速解决。
例1 如图∠PCA=∠B,则下列结论
① △APC∽△ACB
② △BPC∽△BCA
③ PC/BC=AP/AC ④ PC/BC=AP/AB
⑤ AC?2=AP•AB ⑥ BC?2=BP•BA中正确的是()
?A. ①④⑤B. ②③⑤C. ①③⑤D. ②④⑥
分析:由于∠A=∠A,∠PCA=∠B,故△APC∽△ACB。再根据相似三角形对应边成比例或把比例式转化为等积式,问题也就迎刃而解了。由此判断①③⑤正确,故选择?C?项。
2. 把复杂图形转化为基本图形
在解决相似形的有关问题时,常常遇到一些较为复杂的图形。解题时如果能从中找出基本图形,把复杂形转化为基本图形,也就变难为易了。
例2 苏教版八年级下册?P??122页有这样一道题。如图,在平行四边形ABCD中,G是BC延长线上一点。AG分别交BD、CD于点E、F。问图中有哪几对三角形相似?请把它们表示出来,并说明理由。
分析:因为四边形ABCD为平行四边形。故有AB∥CD,AD∥BC,若把图形分解为下面“X”型图和“A”型图,学生会既不重复也不遗漏地找出相似三角形的对数。
例3 已知:如图AE∥BC,D是BC中点,F、D、G在同一条直线上。试说明:FD/FE=GD/GE
分析:由已知条件AE∥BC,结合图形,本题可分解为另外两种基本图形。根据相似三解形对应边成比例,找到中间比CD/AE即可解决问题。
例4 如图△ABC中,AB=8?cm?,BC=16?cm?,点P从点A开始沿AB以2?cm/s?的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4?cm/s?的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发。经过多长时间△PBQ与△ABC相似。试说明理由。
①②
分析:可设经过t秒之后△PBQ与△ABC相似。由题意
知AP=2t,BQ=4t,BP=8-2t。由于问题只涉及△PBQ与△ABC相似。故问题可以转化为如图①和如图②的两种情形,从而很容易计算t的值。
三、 利用基本图形解决常见的题型
学完相似三角形的相关知识后,将许多种与三角形有关的题目转化为基本图形来解决,从而构建比较系统的知识框架。常见的题型为:
1. 说明两线段相等 如a=b 可转化为a/c=b/c所以a=b或因为a/c=b/d,c=d所以a=b。
例5 如图△ABC为直角三角形,∠ABC=90?°?,以AB为
边向形外作正方形ABDE,边接EC交AB于P点。过P作PQ∥BC,交AC于Q点。试证明PQ=PB。
分析:由于正方形四条边相等,
加之PB∥DE,PQ∥BC∥AE,构造出两
个“?A?”型图,根据相似三角形对应边
成比例。即可说明PQ/AE=PB/DE,据已
知条件DE=AE,所以PQ=PB。
2. 说明a/b=c/d,先说明a/b=e/f再说明e/f=c/d从而a/b=c/d。
例6 如图平行四边形ABCD中,点P是对角线BD上的一点,过P的直线交BA的延长线于E点,交AD于F点,交CD于G点,交BC的延长线于H点。试说明PE/PG=PH/PF。
分析:因四边形ABCD是平行
四边形,故有AB∥CD,构造出“?X?”型图,利用△BEP∽△DGP得EP/GP=BP/DP,再根据已知条件AD∥BC,又构造出“?X?”型图,利用△DFP∽△BHP,BP/DP=PH/PF,从而证明出PE/PG=PH/PF。
相似形这一知识点,对于初中学生而言,既是重点又是难点。如果教师在平时的教学过程中恰如其分地引导学生利用基本图形把复杂的问题简单化。久而久之,学生们在解决实际问题时能够学会利用基本图形这一理念来处理问题,问题也就化难为易了。
(李杰 江苏省新沂市钟吾中学 221400)