在平几教学中,对学生加强几何语言的训练是十分重要的,因大量的几何概念、定理都是用特定的几何语言叙述的,几何图形中数量关系和位置关系也都是用几何语言给出的,而那些命题的推理与证明过程更离不开几何语言,可以说,平几的教学很大程度上是几何语言的教学。
在平几的教学过程中为了纠正学生只重视解题、不重视语言的掌握和运用的现象,可以从以下几方面注重对学生几何语言的训练,以提高学生这方面的能力。
一、严格要求学生认真阅读课本
例如刚开始学习时,有的学生说:“直线可以向两方无限延伸”、“线段不可以延长”。这种不准确的语言对有关内容的学习都可以产生负迁移。为此要引导学生仔细阅读课本,纠正上述语言中的错误,把前句中的“可以”改为“是”,后句中的“不可以”改为“可以”。又如,教学平行公理后,要求学生把它与垂线的性质作对照,并通过比较找出这两句话的相同和不同之处。
二、注重对学生几何语言理解能力的培养
平面几何是以平面图形为对象的一门基础学科,抽象的思维方式和现实而直观的研究对象,这是平面几何这门学科的两大特点,人的抽象思维需要形象化的支持,在进行抽象的几何语言教学的同时,要注重充分运用具体化、趣味化等手段,对于几何概念、定理、公理,从学生熟悉的生活中的事例引入、归纳和抽象,从而提高学生对几何语言的理解。例如,在进行“互为补角”概念的教学时,就不能以为问题简单一带而过,因为学生往往只知道两角之和为180°,但对于“互”字则不甚了解,这时注意让学生知道“互为补角”有两层含义:
(1) 两角之间的数量特征是和为180度。
(2) 两角之间的相互关系是:甲为乙的补角,乙也是甲的补角。
对于第(2)点学生理解掌握要比第(1)点困难得多。在教学时注意把这种相互关系明确的揭示出来,从而迁移到涉及三个甚至更多的角与角之间的关系上去。如对“同角的补角相等”定理的理解:
∠1+∠2=180°,即∠1是∠2的补角
∠3+∠2=180°,即∠3是∠2的补角
∵∠1和∠3都是∠2的补角 ∴∠1=∠2
在此基础上再进一步要求学生把定理改变形式,说成“如果两个角都是同一个角的补角,那么这两个角相等”,常常对这种几何语言变换,能有效的帮助学生理解和掌握定理。
三、加强几何语言规范化教学
我们知道,初中平面几何教学的一个重要任务是培养学生的逻辑思维能力,而几何语言与逻辑思维能力有着密切关系,并制约着学生思维的发展,在平几教学中要注意“从早”和“从严”抓好几何语言规范化的训练。
(1) 从早。因几何语言训练是几何教学一开始就会遇到的问题,大量的几何语言出现在定义、定理与课文的叙述中,教材前几章集中了比较多的定义、名词术语和公理、定理,这就要求在平几入门教学阶段就让学生过好几何语言关,如概念、作图语言和简单推理语言等等,只有及早的在基本的几何语言教学上下功夫、做文章,增强学生对几何语言的感知、理解和表达,才能使学生顺利的学好几何。
可以看到,学生刚接触几何知识时,对几何语言的学习会存在不少困难,正如幼儿学说话一样,因此在前面的教学中遵循“先模仿,重理解,后提高”的规律。如讲线段的延长线,先通过模仿,让学生弄清两个本质东西:(1)方向,(2)延长,再让学生学会用两种方法说出图中点?C。
(1) 点C在线段AB的延长线上
(2) 点C在线段BA的反向延长线上?
经过反复的类似训练,来逐步提高学生正确理解、正确表达(口头的、文字的)几何语言的能力。
(2) 从严。因要使学生能准确的运用几何语言分析问题这不是一件容易的事,教学中要做到严格训练,使几何语言规范化。例如“直线上一点”就不能说成“直线内一点”。如果一开始就让学生学会使用比较规范的几何语言思考问题,回答问题,那么就大大有利于培养学生的作图能力与推理论证能力。另一方面对于学生来说,难懂的定理应着重于理解,叙述时可先做到“繁而不漏”,正确而全面,后“简而不漏”,从而达到规范化的要求,平时多鼓励学生用自己的语言正确解释,而不必死记硬背。例如对“对顶角”的教学,两条直线相交,有一个公共顶点,且没有公共边的两个角叫对顶角。有的学生说成“如果一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,那么这两个角是对顶角”。这实际上是对“对顶角”的一种正确理解,应予鼓励并引导学生与教材上的定义作比较,以理解“对顶角”实质性的含义,这样学生既学懂了又学活了。
四、注意文字语言与符号语言的互化
几何语言按叙述方式分为文字语言和符号语言,文字语言大量的出现在定义、定理、公理和课文的叙述中,符号语言则结合图形用来表示数量和位置关系,这两种语言往往互相渗透,互相转换,交替使用,学生思维能力发展的过程,实际上就是这种语言能力发展的进程,加强对学生进行文字语言与符号语言互化的训练,是几何语言教学的重要方面,在教学中可采取以下具体做法:
(1) 把文字语言化为符号语言作为教学重点,在教学中把“文字语言”、“图形”和“符号语言”三者作为联系在一起的一个整体,并依次进行分析、讨论,让学生去理解和掌握。
例如:
文字语言图形符号语言
例1:点P是线段AB中点
AP=
PB=
12AB?
或AB=2AP=2PB
例2:三角形的中位线平行于第三边并等于第三边的一半。
△ABC中?
AD=DB?
AE=EC?DE= 12BC
可以看到,把文字语言化为符号语言是教学中的一个难点,如用“?”的格式证题、推理的逻辑性就增强了,而学生初学时是不容易掌握,教学中要多加分析,多作示范,以增强学生证题的整体观念和提高他们编排设计能力,在证明文字叙述的命题时,要用讨论的形式引导学生分清条件和结论,把文字语言断句重组,在理解的基础上让学生自己动手画图,然后写成已知、求证,并让学生评议,经过一段训练,学生分析、解决这类问题的能力可以明显提高。
(2) 把符号语言化为文字语言作为加强理解教材内容必要的基本训练。在平几教学过程中,不仅要重视把文字语言化为符号语言,同时还要注意它的逆向交换,即把符号语言化为文字语言。例如:符号语言:如图1,AD=AB+BC+CD。用文字语言来表示就是:线段AD是线段AB、BC与CD之和。再如,符号语言,如图2,
∠AOC+∠COB=180?°?,∠AOD=∠DOC,∠COE=∠EOB用文字语言表示就是:OD、OE分别是互为邻补角的∠AOC与∠COB的平分线。
图1
?
图2
在全等三角形的判定中,刚开始学生很爱使用“SAS”、“ASA”、“AAS”和“SSS”等缩写记号,但有一部分学生并不真正了解这些记号的含义,因此要训练学生把这些记号表示的全等条件用文字叙述出来,以加深理解。