摘要：对于叠加法求外伸梁的弯曲变形问题，传统的图解法由于部分求解步骤的物理意义不清楚，教学效果不够理想。运用叠加原理和解析法相结合的办法，通过必要的推导和分析，明确了图解法每个步骤的物理意义。运用这种方法，还分析了悬臂梁作用分布载荷的情况，通过一题多解的形式，增强学生对材料力学课程的整体认识。
关键词：外伸梁；弯曲变形；叠加法；解析法
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）03-0044-02
一、引言
在材料力学的弯曲变形一章中，根据线性叠加原理，采用叠加法求解，生动形象且计算量小。传统的叠加法，在讲述完叠加原理后，根据总结的基本变形问题，演变成了图解法的方式。但是，这种教学方式存在着一些问题。如，在求外伸梁的弯曲变形时，教学效果就不是很好。目前的各种高校教材，都是直接给出了叠加法求外伸梁变形的使用步骤，却没有作进一步的推导演绎。学生对此往往产生困惑，如，关于梁中间的铰支座处的转角计算，需要把外伸段的载荷平移到铰支座位置求解；而在材料力学中，一开始就明确指出力的平移定理对弹性体模型是不成立的，两种说法明显相互矛盾。究其原因，不同于其它形式的梁，叠加法求解外伸梁弯曲变形的处理过程全部是在外伸段进行。此时单纯使用叠加原理，并不能清楚地解释每个处理步骤的物理意义。虽然有“逐段分析求和法”作为补充，但其类比过程和纯文字的叙述方式解释得仍不清楚。如果只用解析法，从求解方程的角度来考虑，它和叠加法的处理步骤也不能一一对应。本文尝试从解析法入手，通过适当的推导和分析，明确给出了叠加法每个步骤的物理意义，让学生“知其然，又知其所以然”，指出对于外伸梁的图解法处理，并不是简单的线性叠加，还需结合等效变换的概念，获得了很好的教学效果。除了外伸梁的弯曲变形，使用叠加法和解析法相结合的方式，还可以分析更多的弯曲变形问题。通过一题多解的形式，使学生对材料力学知识点的理解、课程结构的整体把握都更加透彻。
二、外伸梁问题
图1 外伸梁
下面结合叠加法求外伸梁弯曲变形的处理过程，给出相应的公式推导和分析。以外伸梁在自由端作用集中力F为例，分析端面B的挠度（图1）。由于AC和BC段的弯矩方程不同，因此挠曲线方程表示为：
AC段：w=■■■dxdx+C■x+D■ （1）
BC段：w=■■■dxdx+C2x+D2 （2）
首先，对梁的外伸段BC，采用截面法分析梁右段。若以C为原点，水平向右为x轴正方向，则弯矩MBC=F（a-x），代入（2）式有
w=■■Fx3+■Fx2+C2x+D■ （3）
如果得到C2、D2，则可以求出外伸段BC任一截面的挠度和转角。积分常数通过C点边界条件给出。如果wc=0，θc=0，即相当于C点为固定端，BC段为悬臂梁，则C2=D2=0。但实际上，C点约束为铰支座约束，即wc=0，θc≠0，代入（3）式，得到C2=θc，D2=0。根据线性叠加原理，外伸梁问题可以等效为悬臂梁BC的弯曲变形和转角θc对外伸段的影响两者之和。然后，关于转角θc的求解，由于挠曲线光滑连续，根据连续性条件，C截面的转角θc可以用AC段的挠曲线方程计算得到。对AC段的弯矩，用截面法分析梁左段的物理意义更明显。此时若以A为原点，水平向右为x轴正方向，则AC段的弯矩方程为
MAC=FAx=■x （4）
代入边界条件wA=0，wc=0，则转角可求。
图2 在C点施加力偶m
若令力偶矩m=Fa，则（4）式变为MAC=mx/l。可以看到，对于简支梁AC段，如果问题变换为在C截面施加力偶m，大小等于Fa，如图2所示，则AC段的弯矩方程、挠曲线方程和原问题是相同的。同时，变换前后的边界条件没有变化，因此变换前后的弯曲变形也应该相同。变换后的问题，即相当于把外伸段的载荷平移到铰支座C后的简支梁问题。至此，图解法解外伸梁弯曲变形的每一步都有了明确的物理解释。关于力的等效平移，对于弹性体模型，需要保证平移前后的变形一致。对于用AC段求转角θc，由于边界条件不变，因此只需要保证平移前后的AC段弯矩方程不变即可。如果把外伸段的载荷F平移到AC段中间的某个位置D，虽然AD段的弯矩方程没变，但CD段的弯矩和平移前的弯矩方程（4）并不一致，因此这种力的平移就是不等效的。
三、悬臂梁问题
叠加法结合解析法，还可以分析更多的梁弯曲变形问题。如，对于均布载荷作用在部分梁上（图3）。传统的叠加法求解是：首先，在悬臂梁左段没有载荷的部分施加一对大小都等于载荷集度q、方向相反的均布载荷；然后，再把问题分解为两种可以用图解法查表计算的简单情况：一种是均布载荷作用在梁整个跨度l上；另一种是反向的均布载荷只作用在梁左段l/2上。
图3 作用部分均布载荷的悬臂梁
对于该问题，还可以这样考虑。把原来的均布载荷看作是施加在不同位置的集中力的叠加（图4）。对于作用在位置a上的集中力dF，有dF=qds，产生的弯曲变形可以直接查表得到
v=-■（3a-x）（0≤x≤a）
v=-■（3a-x）（0≤x≤l） （5）
令a=s，则总的弯曲变形的叠加就可写成（5）式对dF的积分，有：
v=■-■（3s-x）ds （0≤x≤l/2）（6）
v=■-■（3s-s）ds+■-■（3s-s）ds
（l/2≤x≤l/2） （6）
图4 作用集中力的悬臂梁
上述方法也适用于非均布载荷情况，只需要把q相应的表达式代入到上式即可。传统的图解法无法在非均布载荷情况下使用；解析法则需要计算相应的弯矩方程。比较而言，叠加法和解析法相结合的方式更加灵活。如果分布载荷是线性分布，还可以结合摩尔积分的概念，把（6）式从∫q（s）f（s）ds的形式写成qc（s）ω的形式，其中ω是f（s）图的面积，qc（s）是q（s）图中与f（s）图的形心c对应的纵坐标。
这种叠加法和解析法相结合的方式，虽然计算量大于图解法，但其对分布载荷的处理和材料力学中的经常使用的微元方法是一致的，从教学效果看，学生对微元方法很熟悉，因此这种解法是很容易接受的。同时，一题多解的方式，在有限的教学时间里增加教学的信息量，对于学生而言，既巩固了对以前所学知识的理解，又拓展了学生的思维，做到对所学知识的融会贯通，对课程结构的整体把握都更加透彻。
四、结论
用叠加法求解梁的弯曲变形，传统的图解法虽然方便，但在分析外伸梁时，存在着物理意义不清的问题。叠加法结合解析法，通过简练的公式推导和分析，明确了图解法每一步的物理意义，克服了单纯应用解析法和图解法的不足之处，提高了教学效果。运用这种方法，还可以分析其他类型的弯曲变形问题，通过和其他知识点的有效结合，使学生对材料力学的认识更加透彻，是现有教学方法的一个有益补充。
参考文献：
[1]刘鸿文.材料力学[M].（第4版）.北京：高等教育出版社，2004.
[2]H.M.别辽耶夫.材料力学[M].北京：高等教育出版社，1992.
[3]单辉祖.材料力学教程[M].北京：高等教育出版社，2004.
作者简介：杜新，讲师，主要从事工程力学的教学科研活动。