有成语“深入浅出”，指讲话或文章的内容深刻，语言文字却浅显易懂。欲做好课堂教学这篇“文章”，又何尝离得开深入与浅出呢？特别是数学教学，由于内容及其思想的深刻性是学科的重要特征，因此深入与浅出都成了值得研究的问题。
“中学数学核心概念、思想方法体系及其教学设计”课题正是针对中学数学课堂教学中“深入”与“浅出”问题的一种有效研究。在第七次集体活动的两堂“曲线与方程”研究课(桂思铭老师和郭慧清老师执教)引起大家广泛思考。结合两位教师的设计、课堂教学、说课和课题成员的讨论以及课题会议后教师的议论，笔者愿和读者就数学教学中的“深入”与“浅出”问题作一些探讨。
一、深入概念核心
就内容来讲，一个概念的核心就是此概念的内涵本质。但教学过程中学生（甚至还有教师）对概念的内涵本质常常缺乏理解，认识不够深刻。其实，认识概念的本质有一个层次的深入问题，如同手剥一支春笋，笋壳层层剥来，春笋性质不变但本质逐步显现。
1.对曲线与方程概念本质的第一层认识
曲线与方程的概念分解为“曲线的方程”和“方程的曲线”两个概念，本质是（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（完备性）。这是教材直接呈现的内容，对教师来说没什么问题，对学生来说只是有点“颠来倒去”的复杂但也并不难于理解。
2.对曲线与方程概念本质的第二层认识
追问一个问题：“曲线的方程”和“方程的曲线”实际上是在讲一个什么问题？郭老师这样概括：实际上是两个点集的等价。一个是曲线上所有的点构成的集合，另一个是方程所有的解所对应的点构成的集合。如果这两个集合相等，那么方程是曲线的方程，曲线是方程的曲线.笔者赞同这样的分析。这是在给定一个方程和一个曲线的前提下问题的本质和关键所在，因为学生在学习本内容之前，对这两个集合的区别是缺乏重视的，而这一点恰恰是本课的主要教学目标之一。
3.对曲线与方程概念本质的第三层认识
再追问一个问题：“曲线的方程”和“方程的曲线”是哪来的？两位老师作了回答：因为有了坐标系。什么是坐标系？“直角坐标平面是构成平面直角坐标系的物质基础……而平面直角坐标系则是点P与其坐标之间一套对应法则，也就是从点到数，从数到点的相互转化的映射。”“在建立平面直角坐标系的条件下，平面轨迹上的动点P的坐标可表示为（x,y），其中x,y都是变量，它们受轨迹条件M的制约，通过轨迹条件M的解析化，即得含x,y的方程F（x,y）=0。”事实上，有了坐标系，点（几何）与坐标（代数）建立了对应；有了轨迹条件的制约，坐标变量的自由度受到限制。特别地，当轨迹条件M最终可解析表示为方程F（x,y）=0时，就自然形成了曲线与方程的概念。
对于同一个数学概念，人们可以从不同的角度，以不同的深度去剖析它的本质。学习一个概念取决于对它的理解，而理解的含义就应该是对概念本质的把握。
二、触及思想方法
所谓数学思想方法，是数学知识在更高层次上的抽象和概括, 它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。数学教学的深入，不仅表现在对内容本身的深入理解上，领悟内容所带来的数学思想方法是另一种方式。
如果说教学的“深入”取决于教师的思考，包含在教学设计阶段，那么教学的“浅出”依赖于学生的思维，体现在课堂学习过程。没有理解的深度、思想的高度，课堂教学注定不会有高的质量。但反之，有了“深入”却不等于课堂的高质量，因为课堂面对的是学生，需要“深入”的另一面――“浅出”。
三、教学活动低起点
有效教学必须基于学生的学习基础，它包括知识、能力、认知等诸多因素水平。有效的教学活动需要“低起点”。
以设计曲线与方程概念的教学活动为例，教材直接用“平分第一、三象限的直线的方程”和“以（a,b）为圆心、r为半径的圆的方程”的分析来组织教学活动，内容是学生所熟悉的，问题是具有代表性的，手段是简单的，指向是直接的。在本次课题会上，两位开课教师在该问题上都采用了教材的内容，但是活动设计却值得商榷。其中一位老师的做法是引领学生回顾教材“直线与方程”和“圆与方程”两章的“章头语”，另一位老师的做法是用“位置的确定”生活实例。两位老师都想从“坐标法思想”入手，然而教学活动涉及的内容离课题太远、思想性太强，因而活动的起点太高，致使学生“不知教师想干什么”。
教学活动低起点，要求教师在组织教学活动时，选择的材料要简洁，呈现的问题要明了，要能使学生都“动起来”。低起点的核心是思维起点比较低，要使大多数学生能开始有效的思考。起点低不等于要求低，因为思维有一个发生与发展的过程，高要求是逐步实现的。这也是教学之“浅出”的艺术。
四、思想渗透多落点
数学教学需要重视数学思想方法，这是大家比较一致的观点。但是，在如何进行数学思想方法教学的问题上，人们似乎有不同的认识。有的教师在课堂内直接与学生大谈特谈数学思想方法，也有其他的教师在评价这样的课堂时说“该教师十分重视数学思想方法”的教学。笔者不赞同这样的做法和说法。笔者以为，思想方法的教学不同于一般知识的教学，思想方法更多地具有“默会知识”属性，不在于教师如何说教而在于学生怎样领悟。教师可以偶尔与学生谈一点思想方法范畴的感悟，但更多地需要教师去创设能让学生感悟到数学思想方法的问题情境。也就是说，数学思想方法的教学应更多地依赖于“渗透”，而不是“头脑风暴”。
曲线与方程的概念中蕴涵了丰富的而且是深刻的数学思想方法。这些思想方法的教学需要分散渗透到各个具体内容、具体教学过程中去。渗透是一个逐步达成的过程，绝对不是这一节课就要全部完成的目标。
五、本质突破精出点
在导出概念之前先让学生解决以下两个问题：
（1）写出表示下列图形(实线部分)的方程:
（2）作下列方程所表示的图形:
（i）y=-x-1（0≤）; (ii).
然后结合学生的回答（请学生板演，有部分学生出现错误），在教师的引领下，从正反两方面去概括概念的两个基本属性（纯粹性与完备性）。实践表明这样的出点很精彩。
课堂教学中的“深入”与“浅出”是一对矛盾，处理好这对矛盾是教学的艺术。
标签：教学