对于正实数a、b,有以下不等式链: 21a+1b≤ab≤a+b2≤a?2+b?22 其中不等式a+b2≤a?2+b?22和基本不等式a+b2≥ab一样,都有着广泛的应用.但它们的应用对象不同.不等式a+b2≥ab常用在含有a+b和ab的问题中,且有“积定和最小,和定积最大”的结论,以及“一正、二定、三等”的条件要求;而不等式a+b2≤a?2+b?22常用在含有a+b和a?2+b?2的问题中,并且也有类似的等号成立条件.这个不等式还有两种表现形式:a+b2?2≤a?2+b?22和a+b?22≤a?2+b?2.下面就此不等式在几个模块的应用做一个小结,希望能给大家一点启发.
一、 求最值
例1 已知x?2+y?2=16,求x+y的最小值.
解:∵x+y2?2≤x?2+y?22
∴x+y2?2≤8
∴x+y≤42
∴x+y的最小值为-42,最大值42.
注意:题目中含有x+y与x?2+y?2.
二、 证明不等式
1. 证明有理不等式
例2 已知a>0,b>0,且a+b=1,求证:a+1a?2+b+1b?2≥252
证明:∵1=a+b≥2ab
∴0 ∴1ab≥4
由a+b2?2≤a?2+b?22,得
a+1a?2+b+1b?2≥(a+1a+b+1b)2?2=(1+1ab)2≥252.
2. 证明无理不等式
例3 已知a≥1,试比较a+1-a与a-a-1的大小.
证明:设A=a+1-a-(a-a-1)=a+1+a-1-2a
∵a≥1
∴a+1+a-12?2 即a+1+a-12,求证:a?8+b?8>2.
分析:由于要证的不等式的右边是一个八次多项式,因此,不少同学望而生畏,无从下手.如果反复使用不等式a+b2?2≤a?2+b?22,使多项式的次数等比增长,这个问题就会迎刃而解.
略证:∵a+b>2 ∴a?2+b?2≥a+b?22>2
∴a?4+b?4≥(a?2+b?2)?22>2 ∴a?8+b?8≥a?4+b?4?22>2.
4. 证明三角不等式
例5 已知α,β,γ均为锐角,且?cos??2α+?cos??2β+?cos??2γ,
求证:?tan?α+?tan?β+?tan?γ≥32.
证明:由已知条件,作一长方体ABCD-A?1B?1C?1D?1,使∠C?1AD=α,∠C?1AB=β,∠C?1AA?1=γ.记AD=a,AB=b,AA?1=c,则?tan?α=b?2+c?2a,?tan?β=c?2+a?2b,?tan?γ=a?2+b?2c.
由于,a+b2?2≤a?2+b?22,则a?2+b?2≥a+b2(a,b≥0).
从而有?tan?α+?tan?β+?tan?γ=b?2+c?2a+c?2+a?2b+a?2+b?2c≥
b+c2a+c+a2b+a+b2c=12ba+ab+ca+ac+cb+bc≥
12(2+2+2)=32.当且仅当a=b=c时取“=”.
故?tan?α+?tan?β+?tan?γ≥32.
三、 在立体几何中的应用
例6 若a、b、c是长方体的长、宽、高,且a+b-c=1.已知该长方体的角线长为1,且b>a,求高c的取值范围.
解:由已知得a+b=1+c,a?2+b?2=1-c?2,
由(c+12)?2≤a?2+b?22=1-c?22可解的
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