摘要：本文主要从对金融衍生品定价影响深远的Black-Scholes公式展开，详细介绍Black-Scholes公式的理论基础，推导过程，以及在不同时期标的资产的价格变化失去“独立性”时对于该公式的改进。在模型的基础上，文中还包括了实证研究的部分，在实证研究中，文中对2010年贵州茅台的股价行为进行分析，并以此得到基于贵州茅台的欧式期权定价。文章一共分为四个主要部分：随机微分方程基础、Black-Scholes公式的介绍、模型的参数估计和模型的改进、以及基于文中模型的实证检验。
关键词：金融衍生品定价 Black-Scholes公式 Ornstein-Uhlenbeck过程
一、引言
期权，权证以及其他金融衍生品定价理论的出现是现代金融发展一个重要的里程碑。基于广为人知的无套利理论，Black,Scholes和Merton在1973年创立了著名的期权定价公式。此公式的创立立即在学术界和专业投资领域得到了广泛的认可，并由此推动了现代金融衍生品市场的发展。
Black-Scholes公式对金融衍生品定价的深远影响和内在的重要性体现在于，它表明在一定的条件下，衍生品的价格可以通过特定的动态投资策略被精确地制定出来，而这个投资策略只和标的资产的价格和市场无风险利率有关。这在本质上改变了期权定价的方式，使得期权定价更加精确和严格，因而极大程度地推动了现代金融市场的发展。 利用Black-Scholes模型中所采用的方法，各种各样的金融衍生品，包括各种金融衍生品的组合，可以被精确地定价。
虽然衍生品的最后定价数值往往是高度计算机相关的，但是本质上由于模型建立在无套利条件的基本假设下，整套定价理论的实际应用中并没有留给传统统计学多少可以深入研究的空间。这主要是由于中间没有“误差项”可以去最小化，也没有相应的统计波动值得研究。诸如回归分析等传统统计方法即使在标的资产的价格变化模型的数据处理中都很少有用武之地。然而，这并不是说在B-S模型下的金融衍生品定价理论彻底与统计无关。至少在这套理论的实际应用中有两个问题确实需要统计推断。第一个问题是如何估计连续时间下标的资产价格变化模型中的某些参数。这点非常重要，因为标的资产的价格模型是之后的衍生品定价模型的基础。第二个问题与如何用Monte Carlo方法来解决“路径独立”的衍生品定价有关。
二、Black-Scholes定价模型
1、基本价格变化模型
随着金融衍生品市场的发展，在很多场合下我们需要考虑连续情况下的模型，而不再是简单的离散时间模型。例如，Merton推导Black-Scholes公式时就要求假设投资组合在任意时间时候都是可以快速调整的，只有这样才能从理论上构造出一个对冲的投资组合，从而通过无套利原则准确计算出衍生品的价格。
这是Black-Scholes公式的最重要的思想。然而在离散情况下，满足上述要求的投资往往是无法够构造的，因此本文中所有关于金融衍生品模型的讨论都将是在连续时间下的。
我们用来表示标的资产在 时刻的价格。我们常假设满足以下条件：
a、对任意的，
b、对任意的，增量与增量是相互统计独立的。
c.对每条轨道而言，是连续的。
满足这些条件的，就是著名的布朗运动或者维纳过程，该过程通常用来表示。也即（1）
随机变量表示描述标的资产的价格，有以下几个性质：
2、Black-Scholes期权定价模型
1973年，Fisher Black和Myron Scholes推导出基于无红利支付股票的任何衍生证券的价格都必须满足的微分方程，并运用该方程推导出欧式看涨期权和看跌期权的价值。在此，我们对Black-Scholes模型进行简单阐述，定价公式的推导过程在很多文献上都可以查到，所以在此不再详细介绍，本文只给出最后的推导结果，即定价公式。我们先规定一些符号：
S:股票现价
K:期权的执行价格
T:期权的到期时间
t:现在的时刻
ST:在T时刻股票的价格
r:在T时刻到期的投资的无风险利率
c:一份欧式看涨期权的价值
p:一份欧式看跌期权的价值
在得出Black-Scholes定价公式之前，我们首先要导出Black-Scholes微分方程，Black-Scholes微分方程用到的基本假设如下：
1、股票价格服从几何布朗运动：
其中，z是标准布朗运动，是股票的期望增长率，是股票的波动率。
2、允许使用全部所得卖空衍生证券。
3、市场上没有交易费用或税收，所有证券都是高度可分的。
4、在衍生证券的存续期内无红利发放。
5、交易市场没有无风险套利机会。
6、证券交易是连续的。
7、无风险利率r为常数且对所有到期日都相同。
在这7项假设的基础上我们可以推导出Black-Scholes微分方程：
（2）
其中f就是我们所关心的要确定的期权价格。对应于可用标的变量S定义的所有衍生证券，方程有很多解。解方程时得到的特定的衍生证券取决于其使用的边界条件。对于欧式看涨期权，关键的边界条件为：；欧式看跌期权则为：。
而该方程的一个重要性质就是该方程不包含任何受投资者的风险偏好影响的变量。故风险偏好不会对其解产生影响，在对f进行定价时我们可以使用任何一种风险偏好，特别是，可以假设：所有的投资者都是风险中性的。风险中性的假设是求解Black-Scholes微分方程的人为假设，获得的方程解对所有世界都有效。当进入风险世界时，一方面，股票价格的期望收益率改变了；而另一方面，衍生证券的期望收益率也改变了，这两种效果在构造无风险证券组合的过程中效果互相抵消。
接下来我们可以得出Black-Scholes定价公式了。在风险中性的世界里，欧式看涨期权的价格是期望值的无风险利率贴现的结果，可得欧式看涨期权的价值：
同理，欧式看跌期权的价值：
其中，
为标准正态分布的累积分布函数。
三、期权价格模型的参数估计及模型改进
1、价格模型的参数估计
如前面所言，对金融衍生品的估价是基于标的资产的价格模型的，因此对标的资产的价格模型的研究是至关重要的。由于金融市场里有许许多多的不同类型的期权和其他衍生品，因此需要各种不用的价格模型来描述不同标的资产的价格变化走势。
首先我们需要考虑的就是带参数的标的资产价格模型的参数估计。为阐述参数估计需要涉及的问题，我们考虑最简单的标的资产价格变化模型：
（3）
B-S期权公式的推导中用到的标的资产对数价格变化模型是上述模型的特殊化。
由通常的假设是一个连续时间的Markov过程，我们可以利用联合密度函数来估计参数。由Markov性我们就可以得到：
作为一个实例，我们来对B-S期权公式中的价格变化模型来进行分析和说明。假设满足各种条件，并且历史观察数据是有效的，那么我们利用上述方法来估计。利用Ito引理得到
其中。由B-S公式中的基本假设，可知连续的复合收益率是独立同分布的随机变量，可解得：
（4）
（5）
进一步的分析可以知道，由此得到的估计量是相合的。
至此，一套比较完整的期权定价理论已经形成。我们首先考虑一个合适的带参数价格变化模型来描述某个标的资产的价格变化行为，在满足一定条件的情况下用历史数据（极大似然估计方法）来估计得到合理的参数估计值，从而得到一个有效的价格变化模型。最后利用无套利思想来求得标的资产的衍生品价格。在整套理论中，合适的价格变化模型和参数估计是值得不断改进和研究的，而相对而言，最后一部分的无套利思想则是相对严密和精确的数学分析。
2、模型的改进
在B-S期权公式中使用的标的资产的对数价格变化模型其实也就是几何布朗运动。这样的价格运动过程表明在不同时期标的资产的价格变化在某种意义下具有“独立性”。然后在现实的金融市场中，这样的要求过于苛刻，因此需要新的价格模型的引入来更好的表述标的资产的价格变化运动行为。OU过程(Ornstein-Uhlenbeck process)便是一个很好的改进模型。
OU过程假设，标的资产的对数价格过程满足以下随机微分方程:
其中。OU过程在数学上存在显式解，此外它的某些性质可以用来描述现实中很多标的资产价格变化行为的特性。OU过程是零均值的平稳的子自相关的高斯过程的和，它具有一定的趋势。我们可以将满足OU过程的随机微分方程写成：
从这个等式我们可以看出，当偏离价格变化趋势时，价格会以一个和偏离程度有关的比例被拉回，其中被成为调整速率。OU过程有显式解为：
四、实证分析
本文的最后将利用所学内容进行一次实证模拟。由于中国暂时还是没有期权市场，而且国外期权市场的数据获得比较不易，因此本论文对2010年贵州茅台的股价行为进行分析，并以此算出基于贵州茅台的欧式期权定价。
首先得到2010年贵州茅台的股价原始数据，以日为单位，股价以当日收盘价为准。一共收集从2010年11月3日开始到2011年8月27日之间的201个数据，在此期间，贵州茅台没有分派过股息或拆分过股权。我们假设股价变化模型为几何布朗运动模型，即：
下面我需要对参数，进行参数估计。
令，，，并利用得到式（4）和式（5）得到
，。
得到参数估计值后，利用算得不同到期日，不同执行价格的基于贵州茅台的欧式期权价格。
，
其中r0为2010年的一年期利率。结果如下：
1、当，,时，到期日与执行价格之间的关系如下：
2、当，,时，到期日与股票价格之间的关系下：