【摘要】在投资证券市场的决策中，收益与风险的权衡是投资决策的核心问题。本文借助excel强大的线性规划及函数功能建立证券投资模型，进行有效集的绘制及最优组合求解。包括风险资产与无风险资产的最优组合，以及收益或风险固定的有条件下的最优资产组合求解。并在最后对模型进行评价。
【关键词】最优资产组合 规划求解 模型 有效集
一、引言
1952年马克维茨（Markowits）提出“资产组合选择”的理论，第一次阐述了概念明确，可操作性强的选择投资组合的理论。1964年威廉?夏普（Sharpe）则在其基础上提出了资本资产定价模型(CAPM)，指出无风险资产收益率与有效率风险资产组合收益率之间的连线代表了各种风险偏好的投资者组合。
而在实际操作中，利用excel的函数运算及规划求解功能即可完成资产组合最优解的求解，并在不同的收益、风险限定条件下确定资产的最优投资决策。
二、最优资产组合求解
首先从市场上选取不同行业领域的股票共十只，截取这十只股票在2011年3月至2012年三月的日收盘价数据，利用excel平均值求值公式AVERAGE计算出其各自的日平均收益率。以上证综指作为市场指标并计算出市场日平均收益率。利用VAR公式求得各个资产的方差及与上证综指的协方差，由公式β=■求得各只资产的β系数。β系数是衡量资产对市场风险贡献率的指标，其值越大说明该资产的风险水平越高。观察各只β系数，选取β值水平不同的股票三只，记为股票1、2、3。如可选择β1的一只。
（一）求解可行区域
以0.05为单位跨度赋予三只股票权重ω1、ω2、ω3，由公式E(r)=■■■ω■r■求得在不同权重赋予下资产组合的收益率。利用公式σ■■=■■ω■ω■σ■求得不同权重组合的方差，具体步骤如下：
σ■■=(ω1ω2,…ωn)?σ■σ■…σ■σ■σ■…σ■……σ■σ■…σ■?ω■ω■…ω■
首先利用矩阵原理及excel的MMULT公式计算出前两个矩阵的乘积矩阵，然后用公式SUMPRODUCT求得资产组合风险的方差，即各个资产的加权平均值。继而求得标准差。利用作图功能，即可画出资产组合的可行区域，如图1所示：
图1 三只股票的投资可行区域
（二）与无风险资产的组合
当在资产组合中加入无风险资产时，向可行区域做切线来求得最优组合，即在以无风险利率为截距的切线上的点。如图所示：线段AB为风险资产与无风险资产的比例分配，风险和收益呈线性关系，由投资者投资喜好来选择。一般决策区域在线段AB间，如果投资者风险承受能力较强也可选择直线上B点以上的点，此时的含义为借入无风险资产来进行股票的投资。
这条线即为资本市场线：rp=rf+■■σ■。直线以外的任意点都不能使风险收益得到最优配置。
图2 与无风险资产组合的资本市场线
三、限制条件下的规划求解
当投资者对风险或收益有特定需求时，可利用excel的规划求解功能进行投资比例分配。
此时这三个约束条件为：
1.σ■■=■■■■■■ω■ω■σ■
2.■■■ω■=1
3.E(r)=■■■ω■ri
当收益水平E(r)为固定值时，最优解为风险水平σp的值最小时。
故其目标函数为：minσ■■=■■■■■■ωiωjσij。
利用excel的规划求解功能进行资产组合规划。首先设置约束条件的格式，如图3所示，假设固定收益要求为0.005时，先赋ω1、ω2、ω3值为0。约束条件一的单元格设置公式：E2=B2+B3+B4，约束条件二为组合收益率，即F2=ω1r1+ω2r2+ω3r3。
利用公式MMULT(α,β)求得矩阵[x,y,z]，α为权重ω1、ω2、ω3的区域，β为各资产间的协方差矩阵。目标函数即为ω1+x+ω2y+ω3z，可利用公式SUMPRODUCT。最后利用平方根公式设置公式：H2=SQRT(G2)。
图3 excel操作示意图
接下来如图4所示，设置单元格格式为目标函数单元格，接着选择最小值，可变单元格即为需要规划求解的各个资产权重的单元格。
图4 规划求解操作示意图
约束1：设置E2区域的值等于1，即各项资产的权重总和为1。约束条件2：设置F2等于资产组合收益率，即E(r)。点击“求解”即完成了有确定的期望收益时使得投资风险最小的规划。
同理，在风险值固定时，最优解应使得资产组合的预期收益值最大，目标函数为：max E(r)=■■■ω■r■，求解过程同上。
四、评价
证券市场是瞬息万变，在进行模型构建时常常采用采用历史数据来代替预期收益率，因此也会存在一些偏差，故在进行投资决策中还需结合多方面因素进行考虑。但基于excel的最优资产组合求解模型具有很强的可操作性，对资产组合的优化决策具有一定的实际意义。
参考文献
[1]郭爱平.多目标组合证券投资模型及其计算[J].阴山学刊，2010（9）.
[2]张中帧.大规模均值方差资产组合优化的逆矩阵法[J].科学技术与工程，2002（2）.
[3]玛丽?杰克逊，迈克?斯汤顿.基于Excel和VBA高级金融建模[M].北京:中国人民大学出版社，2009.
作者简介：殷海娜（1991-），汉族，河南濮阳人，就读于北京交通大学经济管理学院，研究方向：金融学。