【摘要】本文系统地介绍了利用两个重要极限、无穷小量代换、洛比达法则、等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题过程中常遇见的一些问题。 【关键词】极限，方法，类型，洛比达法则，定积分
1.引言
高等数学是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位。高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化，如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的，离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值，因此极限运算是高等数学的基本运算。本文作者通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法。
2.具体方法
2.1 利用函数极限的四则运算法则来求极限。
?定理1??①?：若极限?lim?x→x?0f(x)和?lim?x→x?0g(x)都存在，则函数f(x)±g(x)，f(x)•g(x)
当x→x?0 时也存在且
①?lim?x→x?0［f(x)±g(x)］=?lim?x→x?0f(x)±?lim?x→x?0g(x)
②?lim?x→x?0［f(x)•g(x)］=?lim?x→x?0f(x)•?lim?x→x?0g(x)
又若?lim?x→x?0g(x)≠0，则f(x)g(x)在x→x?0时也存在，且有
?lim?x→x?0f(x)g(x)=?lim?x→x?0f(x)?lim?x→x?0g(x)
利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如∞∞、00等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。
例1：求?lim?x→2?-x?2-4x-2
解：原式=?lim?x→2?-(x-1)(x+2)x-2=?lim?x→2?-(x+2)=0
2.2 用两个重要的极限来求函数的极限。
①利用?lim?x→x?0sinxx=1来求极限?lim?x→x?0sinxx=1的扩展形为：
令g(x)→0，当x→x?0或x→∞时，则有
?lim?x→x?0sin g(x)g(x)=1或?lim? x→∞sin g(x)g(x)=1
例2： ?lim?x→πsinxπ-x
解：令 t=π-x .则sinx=sin(π-t)=sint, 且当x→π时t→0
故 ?lim?x→πsinxπ-x=?lim?t→0sintt=1
例3：求?lim? x→1sin(x?2-1)x-1
解：原式=?lim? x→1(x+1)［sin(x?2-1)］(x+1)(x-1)=?lim?x→1(x+1)•sin(x?2-1)x?2-1=2
②利用?lim?x→∞(1+1x)=e来求极限
?lim?x→∞(1+1x)=e的另一种形式为?lim?α→0（1+α）??1α?=e 。事实上，令α=1x•x→∞? α→0。所以e=?lim? x→∞(1+1x)?x=?lim?α→0（1+α）??1α?=e
例4: 求?lim?x→0（1+2x）??1x? 的极限
解：原式=?lim? x→0［（1+2x）??12x?•（1+2x）??12x?］=e?2
利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。
2.3 利用等价无穷小量代换来求极限。
所谓等价无穷小量即?lim?x→x?0f(x)f(g)=1 称(fx) 与g(x) 是x→x?0时的等价无穷小量，记作f(x)~g(x)•(x→x?0)。
定理2??②?：设函数f(x),g(x),h(x) 在u?0(x?0) 内有定义，且有f(x)~g(x)•（x→x?0）
①若?lim?x→x?0f(x)g(x)=A,则?lim?x→x?0g(x)h(x)=A
②若?lim?x→x?0h(x)f(x)=B, 则?lim?x→x?0 h(x)g(x)=B
证明：①?lim?x→x?0g(x)h(x)=?lim?x→x?0 g(x)f(x)•?lim?x→x?0f(x)h(x)=1•A=A
②可类似证明，在此就不在详细证明了！
由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限。
例5：求?lim?x→0tanx-sinxsinx?3 的极限
解：由tanx-sinx=sinxcosx(1-cos). 而sinx~x,(x→0)；
1-cosx~x?22,（x→0 ）；sinx?3-x?3~x?3,（ x→0 ） .
故有?lim?x→0tanx-sinxsinx?3=?lim?x→01cosx•x•x?22x?3=12
注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量，如：由于?lim?x→0sinxx=1 ，故有sinx~x,(x→0). 又由于?lim?x→0arctan xx 故有arctanx ，(x→0 ).
2.4 利迫敛性来求极限。
定理3??③?：设?lim?x→x?0 f(x)=?lim?x→x?0 g(x)=A,且在某u?0(x?0,δ) 内有f(x)≤h(x)≤g(x),则?lim?x→x?0h(x)=A
例6：求?lim?x→0?- x［1x］ 的极限
解：∵1≤x［1x］