高考大纲要求,能够综合、灵活运用所学的数学知识和数学方法,创造性地解决问题。我认为就是要会把所学知识进行整合。 我在实际教学中就遇到了很多这样的问题,现就一例说明:
案例:已知x,y∈?R+,且1x+9y=1,求x+y的最小值.
法一(均值不等式法)
∵x,y∈R?+
∴1=1x+9y≥6xy (1)
(当且仅当1x=9y即y=9x时取等号)
∴xy≥6
又x+y≥?2xy(2)
(当且仅当x=y时取等号)
∴x+y≥12(3)
∴x+y的最小值是12.
此题答案有误。因为(1),(2)式的等号不能同时成立,所以(3)式等号不能取。但事实上推导过程无误,只不过扩大了x+y的范围。此种推导在选择题时,其选择项若是6,8,12,16,当可排除6,8,12得16.
此法作为例子强调使用重要不等式时等号成立条件的必不可少。
如:a,b,c是不等正数且abc=1,求证a+b+c1)
所以x+y=x+9+9x-1
=10+x-1+9x-1
≥16
当且仅当x-1=9x-1即x=4时取等号
法三(用判别式法)
由1x+9y=1得y=9xx-1(x>1)
令x+y=z,则z=x+9xx-1=x?2+8xx-1
得关于x的二次方程x?2+(8-z)x+z=0
可由?Δ?=(8-z)?2-4z≥0且z-8+?(8-z)?2-4z2>0
解得z的范围从而得到x+y的最小值.
注意实根分布情况讨论。
类似地,如2x+y=6,求1x+1y的范围也可用判别式法.
法四(三角代换法)
令1x=(?cos?θ)?2,9y=(?sin?θ)?2,
则x+y=
1cosθ?2+9
1sinθ
?2=10+(?tan? θ)?2+9
1tanθ
?2≥16
变式:00, b>0,求
a?2x+b?21-x的最小值.
法五(导数法)
z=x+9+9x-1(x>1),z′=0中,x=4
(在区间内有一个极值点,此极值必为最值)
通过上例可以看出:以上所涉及到的方法都是学生应掌握的。因此我认为:如能对基础题加以研究,将收到事半功倍的效果。这就需要学生能把所学知识融会贯通。知识整合是每位高三学生必备的能力,而能力的体现在于解题过程。它可以多角度“追踪”,能“以少胜多”。通过知识整合能加深对基础知识的理解,促进基本技能的掌握,能丰富解题经验,总结解题规律和方法,能促进基础知识的融汇贯通,从而有利于培养钻研能力和创造精神。
首先,要有要有扎实的数学基础。解决问题的多种思路,方法和技巧来源于准确地掌握基础知识和严格的基本训练。要准确理解和运用数学概念,牢固记忆和灵活运用定理、公式等基础知识,还要对题目的特点进行认真分析,对有关图形进行细致的观察,将涉及到的有关基础知识进行有机的联想。
其次,掌握常用的数学方法。解决数学问题,往往是通过各种手段将他转化为已掌握的问题,用已掌握的方法加以解决。这就要对化归思想有更深的理解。把未知的转化为已知,把复杂的转化为简单的,把未掌握的转化为已熟悉的。
第三,要善于思考。解题时要把题目看作是精密研究的对象,而把解决问题看作是设计和发明的目标。要知道知识的内在联系及学科之间的横向联系,从而可开拓一题多解的解题思路。进而整合知识,真正理解知识。
第四,掌握解题技巧,运用创意思维解题既是科学的解证,又是艺术的构思。创意在很大程度上就是旧元素的新组合。做题不能只满足得到结果,每做完一道题后,都要认真想一想,解题用了哪些知识,方法和解题技巧,还有哪些解法,哪些解解法最简便,解这类题有什么规律,应该注意什么问题,在此基础上若将原图形或条件加以变更,还能引出什么样的结论等等。要善于总结,掌握解题规律。这些经验可以拿来直接运用,还可以进行创新整合,往往能够另辟蹊径,出奇制胜。