摘要：随机波动率模型（Stochastic Volatility Mode）是金融时间序列中一个十分重要的模型，广泛应用于验证波动率的随机性。 GMM(general moment method) 是一种十分有效的运用于线性和非线性模型的参数估计与假设检验中的方法。 本文采用GMM方法，来验证我过2001年到2011年的上证指数时间序列是否符合随机波动率模型。
关键词：随机波动率模型 GMM估计 上证综合指数
一、随机波动率模型概述
（一） Stochastic Volatility Model的定义
(1)
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(4)
其中为参数。从定义可以看到，SV模型是一个非线性的模型。其作用在于检验是否有随机变化的趋势。显然，如果，则。
如果我们做变换，则，即是一个AR(1)过程。
所以，其实是一个AR(1)过程与维纳过程的组合，且2者之间是相互独立的。其中的参数部分都在中。
Andersen,T.G 和 B.E.Sorensen 在其1996年的文章中，针对SV 模型，推导出了使用GMM方法估计的如下24个矩条件。
即:
,其中，
所以可以通过来估计
（二）随机波动率模型的模拟及其估计
1、我们按照SV模型，产生随机数，给定初始参数为：
，产生的序列长度为3000 。如下图：
2、参数估计
选择计算的方法为迭代，初始值给定为(0, 0.5, 0.5)。其结果为J-test的自由度为21，J-test= 10.50719，P-value= 0.97155，其余参数的估计值如下表：
可以看到，估计值与真实值相差很小，J-test很小，P-value达到0.97155，不能拒绝原假设，再看估计出的三个参数，方差都很小，尤其是Pr(>|t|)显著的小，说明应用GMM方法对模型进行拟合的效果不错。
注：因为第一步产生数据的随机性，所以，即使用同样的种子所产生的随机数，估计后得到的也是不一样的。
二、上证综合指数实证分析
下面，我们使用上海证?交易所给出的上证综合指数（No.00001）来分析。时间从2000年1月4日开始，至2009年12月31日期间的每日开盘时的指数数据，一共2415天。如下图所示，其中蓝色横线为6000点，红色横线为3000点。
（一）原始序列
使用GMM估计，其结果J-test的自由度为21，J-test= 1.3232e+32，P-value= 0.0000e+00，其余参数的估计值如下表：
其模型拟合的P-value 完全为0，关于3个参数的Std. Error=Inf，Pr(>|t|)=1，所以，我们不能考虑使用SV模型来拟合该数据。换句话说，该数据并不符合Stochastic Volatility Model。
（二）收益率序列
设表示该上证综合指数（No.00001），我们对做变换，然后再做差分：
其中表示收益率，则。的图形如下所示：
我们对使用GMM方法进行检验是否符合Stochastic Volatility Model，其结果如下：
J-test的自由度为21，J-test=29.835963，P-value= 0.095334，其余参数的估计值如下表：
从表(5)中可以看到，用Stochastic Volatility Model拟合效果不错。除P-value较小以外，三个参数的Pr(>|t|)都很接近0。所以，在下，我们不能拒绝原假设，可以认为大致符合Stochastic Volatility Model。
三、结论部分
SV模型是一种随机波动模型，满足模型的数据应该带有强烈的随机性，而上证综合指数（No.00001）其带有强烈的的随时间变化的趋势，通过程序的结果以及一系列后续检验可以说明，不能直接使用Stochastic Volatility Model来拟合上证综合指数（No.00001）。
而上证综合指数（No.00001）的收益率，可以较好的符合Stochastic Volatility Model。这个应该和股市每天限定涨跌幅度的因素是分不开的。
四、改进的方向
我认为可以进一步考虑使用GARCH 模型进行拟合该上证综合指数（No.00001）数据。此外，在上面的对上证综合指数（No.00001）程序计算中，我们选用的权重矩阵W为，这不是一种非常有效的估计， 在gmm函数中，默认选择迭代的W为更优的，但使用该上证综合指数（No.00001）的数据计算出来的是奇异的，其数量级大概在，无法求逆，所以无法使用矩阵作为代替。所以，要解决估计的困难问题，在于找到合适的的相合估计矩阵W。
参考文献：
[1]Andersen,T.G And B.E.Sorensen(1996).”GMM Estimation of a Stochastic Volatility Model:A Monte Carlo Study”Journal of Busiiness and Economic Statsitics, 14,328-352
[2]Pierre Chausse (2010), Computing Generalized Method of Moments and Generalized Empirical Likelihood with R.Journal of Statistical Software, 34(11), 1-35. URL https://www.省略/v34/i11/.