创新是一个民族进步的灵魂,一个没有创新能力的民族, 难以屹立于世界民族之林。新世纪正在召唤大批高素质创造型人才,人才的培养离不开教育。教育本身一个创新过程,教师必须具有创新意识改变以传授知识为中心的教学思路,就是在课堂教学中创设教学的民主自由氛围,为培养学生的创新能力提供良好的心理环境,为学生创新能力的发展,提供良好的条件。
一、 运用开放题,培养学生思维创造性
解答开放型习题,由于没有现成的解题模式,解题时往往需要从多个不同角度进行思考和深索,且有些问 题的答案是不确定的,因而能激发学生丰富的想象力和强烈的好奇心,提高学生的学习兴趣,调动学生主动参 与的积极性。
例对于反比例函数y=-3x与二次函数y=-x?2+3请说出它们的两个相同点:(1);(2) ;说出它们的两个不同点:(1)(2) .
分析:通过对以上两个函数解析式的观察分析,能从自变量x的取值(一个是x≠0)的实数,另一个是x为任何实数);函数值(一个是y≠0 的任何实数,一个是y≤3的所有实数);函数y的值的变化(两个函数值y都随x的增大而减小才)自变量x与函数值y的符号,一个是x与y必定异号,一个是x,y不一定异号;若从函数的图象(图象经过的象限,经过的点,与x轴y轴有无交点,对称轴如何等)去分析,就能更多地寻找出相同点与不同点。
由于开放题,所给条件包含着条件或答案不唯一的因素,在解题的过程中,必须利用已有的知识,结合有关条件,从不同的角度对问题作全面分析,正确判断,得出结论,从而培养学生思维的深刻性和创造性
二、 利用探索性问题,培养学生思维创造性
由给定的题设条件探求相应的结论,或由给定的题断追溯应具备的条件,或变更题设、题断的某个部分使命题也相应变化等等,这一类问题称之为探索性问题.由于这类题型没有明确的结论,解题方向不明,自由度大,需要先通过对问题进行观察、分析、比较、概括后方能得出结论,再对所得出的结论予以证明.其难度大、要求高,是训练和考查学生的创新精神,数学思维能力、分析问题和解决问题能力的好题型.探索存在性问题的基本思路是,可先假设结论存在或成立,以次为前提进行运算或推理,若推出矛盾可否定假设,否则给出肯定的证明。
例 ⊙O?1与⊙O?2外切于P ,过点 P的直线分别交 ⊙O?1,⊙O?2 于点B, A。
⊙O?1 的切线BN交⊙O?2于点M ,N ,AC⊙O?2的弦
(1)如图(1)设弦 AC交 BN 于点D,求证 : AP•AB=AC•AD
(2)如图当弦AC绕点A 旋转,弦AC的延长线交直线BN于点D时,试问: AP•AB=AC•AD是否仍然成立?证明你的结论。
图1 图2
分析:(1)要证明AP*AB=AC*AD,只要证明△APC∽△ADB即可
(2)当弦AC绕点A 旋转后,若探索AP*AB=AC*AD是否仍然成立,其实是探索?APC与?ABD是否仍然相似?
证明:(1)略.(2)仍然成立连结PC ,过点P 作⊙O?1与⊙O?2的公切线EF,
则∠MBP=∠EPB ,∴ ∠ABD=∠APE .
∵∠ACP=∠APE ,
∴∠ABD=∠ACP. 又 ∠A=∠A
∴AP∶AD=AC∶AB.
即AP×AB=AC×AD
探索存在性问题对考察学生思维能力和创造力有积极的作用,因此,加强对探索存在性问题的教学,帮助学生提高分析问题和解决问题的那力,培养学生良好的思维品质和勇于探索真理的精神。
三、 利用一题多解培养学生思维创造性
解决问题的过程实际上就是寻求认识问题的正确途径,找到解决问题的要害,这是培养学生提高学习能力的根本所在。解题思路灵活多变,也未必能保证一次性解题就是最佳思路,最优最简捷的解法。所以解题后应该进一步反思,探求一题多解,多题一解的问题,开拓思路,权衡解法优劣,在富有创造性地去学习、摸索、总结,使自己的解题能力更胜一筹。在 教学中对一题多解的探讨,主要意图是培养学生全面地看待问题,以点带面。一题多解,每一种解法可能用到不同章节的知识,这样一来可以复习相关知识,掌握不同解法技巧,同时每一种解法又能解很多道题,然后比较众多解法中对这一道题哪一种最简捷,最合理?在解题的过程中,既可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用,又要通过相近、相似知识的对比,对所学知识有一个全面复习和巩固。同样的道理,教师在选取典型例题讲解时,也要全方位地进行剖析,不仅要诱导学生来分析解决问题,给出解题思路和策略,还要对题目的立意、解题思路、解题策略和易产生的误区等归纳总结,形成一个共同的认知体系,以一题的解答达到多题的学习效果。 在课堂教学中,通过应用题一题多解的训练,使学生的创造性思维得到锻炼。对提高课堂效率、调动学生的学习积极性,增大课容量的都有很大的作用。激发学生的创造力,打破学生固有的思维模式几思维的惰性,在教学过程中要善于根据不同的教材内容。不同的对象,不同的时机,创造不同的情景,培养学生的思维能力。
四、 利用变式题目培养学生思维创造性
解题是作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种重要手段和主要途径,解但题不是搞题海战术,而是选择一个有典型意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各个方面。使学生通过对这道题目的分析,进入一个宽阔而崭新的天地。
图3
例 如图(3)已知:AD是ΔABC的中线, E是AD的中点,F 是BE的延长线与AC的交点.
求证:FC=2AF.
证明: 过D作 DG∥BF 交 AC 于G,根据平行线等分
线段定理有AE∶ED=AF∶FG.
∵AE= ED ∴AF=FG ∴ FG=CG ∴ FC=2AF
可将这题创新为如下题目:
图4
变式一:(如图4)△ABC中, D是BC上一点,且BD∶DC=1∶2,
过C的任一直线交AD,AB分别于E,F .
求证:AE∶ED=3AF∶2FB
证明:作DH ∥ CF交 AB于H , FH∶BF=DC∶BC=2∶3 ∴ 3 FH=2BF
∴ AE∶ED=AF∶FH=3AF∶2FB
变式二:如图(1)BD∶DC=2∶3,其它条件相同,则AF∶ED=5AF∶3AB
变式三:如图(1)BD∶DC=1∶2,AE∶ED=3∶2,求 AF∶BF的值
变式四;如图(1)BD∶DC= n∶m,AE∶ED=p∶q,求 AF∶BF的值
利用变式题目的解题思想方法教学,可以通过少量典型的题目,研究解体的通法,激发学生的兴趣,诱发学生的灵感,培养学生的创造性思维能力,提高学生的数学素养。
5. 利用特殊方法解题培养学生思维创造性
例已知实数a,b满足a?2 -2a-1=0,b?2-2b -1=0,a≠b,求a?-1b+ab?-1的值
繁解:由a?2-2a -1=0,
解得a=1+2,a=1-2 .
b?2-2b-1=0,解得:b=1+2,
b=1-2.
∵a≠ b,
∴当a=1+2 时,b=1-2, a?-1b+ab?-1=6.
当a=1-2 b =1+2 a?-1b+ab?-1 =6.
解:∵a,b满足a?2-2a-1=0,b?2 -2b-1=0,∴a,b是方程x?2-2x-1=0的解
∴a+b=2 ab=-1 a?-1b+ ab?-1= a?2+b?2-2abab=6
利用特殊方法解题引导学生自我学习,钻研的途径引导学生做对就行的思想,注重解题方法的优化,从而培养学生的创新能力。
在解题过程中,若按习惯定势 思维去探求解题途径比较困难时,可以启发学生根据题目特点,展开丰富的联想拓宽自己思维范围,运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一,同时对提高学生的解题能力也有所帮助,通过特殊方法解题训练学生发散思维,谋求最佳的解题途径,达到思想的创新。
(严 靖 江苏省吴江市盛泽第二中学 215228)