类比,作为一种推理的方法,指的是根据两种事物在某些特征上的“相似”,作出它们在其他特征上也可能“相似”的判断。类比法在初中数学范围内应用极其广泛, 是发现概念、方法、公式和定理的重要手段并能以此开创新领域、新分支。类比法是初中重要的教学方法,数学中的许多定理、公式和法则是通过类比得到的,在解题中寻找问题的线索,往往也借助于类比方法,从而达到启发思路的目的。以下结合自己的教学经验,以类比法在初中数学教学中的应用为主题进行探讨。
1. 性质与关系的类比
性质与关系的类比是指对象各个属性之间的关系仅仅在于它们都是同一对象的属性,或根据两个对象各自属性之间可能具有的相同因果关系而进行的类比推理。例如:在教学《中心对称和中心对称图形》时,可以将它和《轴对称和轴对称图形》放在一起进行类比教学。
另外,为了弄清“中心对称与中心对称图形的区别和联系”也可以先提问题“轴对称与轴对称图形的区别和联系”让学生在横向上有一个类比。甚至在教学“中心对称作图”时也可类比“轴对称作图”,只要将“垂直、延长、相等”改成“连接、延长、相等”。这样,通过对两个类比对象各个方面的比较,学生就很容易接受新知识,真正是“温故而知新”,起到了一箭双雕的效果。
在数学教学中还有很多教学内容可采用这种类比教学法,如:“分式”可类比“分数”;“余弦”可类比“正弦”;“一元一次不等式”可类比“一元一次方程”;“相似”可类比“全等”。
2. 生活与数学的类比
生活中的一些素材就是活生生的数学模型,教学时利用好这些素材,能起到事半功倍的效果。例如:在教学《数轴》时,借助“温度计”这一生活中的“数轴”,从标有刻度的温度计来表示温度的高低这个事实出发引出数轴画法和用数轴上点表示数的方法。请看以下教学片段:
准备:到物理实验室借了20支温度计带进教室
引入: (师)我们知道正数负数可以表示具有相反意义的两个量,那么你会了解每天的天气预报吗?如零上5度,零下10度,你们可以用正数负数表示吗?
生:零上5度记作+5度,零下10度记作-10度
师:观察温度计你能发现什么规律?
生:温度计上的刻度表示的数可以是正数,负数和零
师:你能用直线上的点表示有理数吗?如何表示?
师:画一条水平直线,在直线上取一点表示0(叫做原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到下面的数轴。
数轴的特征:(借助温度计作对比)原点,正方向,单位长度。
如温度计上必须有一个0度,类似的数轴上规定一个原点,温度计上0度以上为正, 0度以下为负,类似的数轴上规定从原点向右为正方向。相反方向则为负方向,温度计上每1度占1小格的长度。类似的数轴上选择适当的长度作为单位长度。强调数轴的画法,然后观察数轴与温度计有什么相似的地方。
由此可得:任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。通过与温度计的类比认识数轴,并向学生渗透对立统一的辩证唯物主义观点及数形结合的数学思想,可以使学生借助图形的直观来理解有理数的有关问题,也为以后学习实数奠定基础。
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像这种利用生活中的素材与数学内容类比教学的例子还有很多,如:通过与天平的类比学习等式;通过与梯子的倾斜程度的类比学习锐角三角函数;通过与电影院里的确定座位的类比学习位置的确定等等。教学中如能正确利用这些素材将起到立竿见影的效果。类比教学还能很好地培养学生学习数学的兴趣。
3. 分式类比
3.1 分式基本性质的类比
在小学里已学过分数的基本性质:“分数的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的数,分数的值不变”。并以此为依据进行分数的约分和通分,从而进行分数的化简与运算。与之类似的,分式的基本性质是:“分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式,分式的值不变”。
由此可见,初中的分式运算是小学学过的分数运算的深化。分式的有关概念和性质与分数相类似。例如分式和分数一样分母都不能为0;分式的性质与分数的基本性质相类似;分式的加减法与分数的加减法的运算方法相类似;分式的通分与约分与分数的通分与约分相类似;因此在教学分式的有关概念和性质时可类比分数的有关概念和性质进行教学,这样学生易于理解,便于接受,培养了学生思维的灵活性。
3.2 分式运算方法的类比
分式的加、减、乘、除、乘方运算法则都可由分数的加、减、乘、除、乘方运算法则类比而得。在新教材中,对分式的这五种运算法则都没有过分强调,其原因和用意可能也是可“类比”。
例:
因为:
1[]1×2[SX)]=[SX(]1[]1[SX)]-[SX(]1[]2[SX)],[SX(]1[]2×3[SX)]=[SX(]1[]2[SX)]-[SX(]1[]3[SX)],……,[SX(]1[]2009×2010[SX)]=[SX(]1[]2009[SX)]-[SX(]1[]2010[SX)]
所以:
[SX(]1[]1×2[SX)]+[SX(]1[]2×3[SX)]+……+[SX(]1[]2009×2010[SX)]=[SX(]1[]1[SX)]-[SX(]1[]2[SX)]+[SX(]1[]2[SX)]-[SX(]1[]3[SX)]+……+[SX(]1[]2009[SX)]-[SX(]1[]2010[SX)]=[SX(]1[]1[SX)]-[SX(]1[]2010[SX)]=[SX(]2009[]2010[SX)]
再解答以下问题:
求[SX(]1[]x(x+1)[SX)]+[SX(]1[](x+1)(x+2)[SX)]+……+[SX(]1[](x+2009)(x+2010)[SX)]的值
由已知条件中分数的简便运算方法――裂项法,类比到分式运算中的裂项。
答题要点:
因为:
1x(x+1)=1x-1x+1,
1(x+1)(x+2)=1x+1-1x+2,1(x+2009)(x+2010)=
1x+2009-1x+2010
所以:
求式=1x-1x+2010=2010x(x+2010)
类比分数的运算法则――逆向运用分式的减法法则,将一个分式“分裂”成两个分式,从而寻求到分式运算问题的简便方法。
4. 过三点的圆与两点确定一条直线类比
在课堂教学“过三点的圆”时,可通过类比联想提出以下问题:
第一,确定一条直线的条件是什么?
第二,我们知道,两点确定一条直线,那么对于圆来说,是否也存在由几点确定一个圆的问题呢?
第三,经过一个点A,是否可以作圆?如果能作,可以作几个?
第四,经过两个点A、B如何作圆?能作几个?
第五,经过三个已知点作圆又是怎样的情况?
这样通过类比联想,引入新课,激发学生的学习兴趣,增加学生的求知欲望。
5. 相似三角形与全等三角形类比
相似三角形与全等三角形判断方法有联系。在相似与全等三角形的判定中,有关角的条件都是对应角相等,有关边的调教,全等三角形中是应对边相等,而相似三角形中是边对应成比例,只要把全等三角形判定中的“对应边相等”改为“对应边成比例”,就能相应得到相似三角形的判定方法。全等三角形必须有一组对应边相等,而判定相似三角形时,可舍去此条件。
在概念的区别上,全等三角形是能够完全重合的三角形。包括形状相同、大小也相同来年各个方面;相似三角形只是形状相同而大小不一定相同,即只是对应角想的,而对应边成比例,当对应边的比值等于1时就全等,因此,全等三角形是相似三角形的特例,掌握它们之间的联系与区别,问题就能迎刃而解。
在初中数学中的类似问题还有很多,诸如“圆的内接三角形”和“圆的内接四边形”;“直线和圆的位置关系”与“点和圆的位置关系”等等,它们彼此都有相类似的地方,若能在教学中灵活运用“类比”的方法,揭示这些知识之间的关系,对于学生掌握数学知识,将会收到良好的效果。
综上所述,类比法在初中数学教学中的应用较为广泛,对学生的学习兴趣的培养和思维能力的提高具有显著的作用。教师应在教学实践中进行合理巧妙的运用,并对学生进行相应的启发,以达到素质教育要求下的初中数学教学目标。?
参考文献:
[1] 黄殊?、林光耀.浅谈中学数学思想方法教学的实施方案[J].福建中学数学. 2004. 12.
[2] 姬鸿广.数学教学中要重视数学思想方法的挖掘和应用[C]. 教研撷华――青海师大附中建校45周年论文集.1999年.
(许玉焕 江西省宜春市天台中学 336015)