【摘要】纵观历年数学高考，应用题是必考的题型。加强中学数学应用题教学，追求课堂教学的有效性，提高学生学习的效率，才能适应素质教育的时代要求，才能更有利于高校选拔人才。因此，对近几年高考数学应用题进行了研究，特别是在新课改理念和新课改高考背景下，日常教学与备考中，以若干常见典型应用类数学高考题为例，教师善于引导，探究高考数学应用类题型的解题方法与技巧。
【关键词】高考，应用题，解题方法，数学模型
重视数学的应用是时代发展和教育改革的需要，数学应用问题已成为每年高考数学命题的重头戏。应用问题在思想内容上富有时代信息，背景公平，贴近学生的生活实际，有利于反映各个层次学生的数学学习水平和人才的选拔，有助于中学素质教育。
应用题一般都有模型，解决应用题的关键是建立数学模型，一般可分为两个步骤：①建立数学模型；②求解数学模型。模型按所用数学知识与方法的不同，可分为概率统计类型、函数模型、不等式模型、数列模型、三角函数模型、线性规划模型、导数模型、解析几何模型等等。通常应用问题的叙述较长，大多有较多的信息，需要花较长时间耐心阅读理解题意。现将近几年高考中几类实际应用题型与求解方法简述如下。
1.函数与导数型问题
?例1：（2009年高考山东卷•理）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧?AB?⌒上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和。记点C到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y。统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k.当垃圾处理厂建在弧?AB?⌒的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065。（Ⅰ）将y表示成x的函数；（Ⅱ）讨论（Ⅰ）中函数的单调性，并判断弧?AB?⌒上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由。
解（Ⅰ）根据题意∠ACB=90°，AC=xkm,BC=400-x?2km,且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为4x?2，对城B的影响度为k400-x?2。因此，总影响度为y=4x?2+k400-x?2(0＜x＜20)，又因为垃圾处理厂建在弧?AB?⌒的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065,所以4(10?2+10?2)?2+k400-(10?2+10?2)?2=0.065.解得k=9,所以y=4x?2+9400-x?2(0＜x＜20)。（Ⅱ）由y′=(x?2+800)(10x?2-1600)x?3(400-x?2)?2=0，解得x=410或x=－410（舍去），易知410∈（0，20）.y,y′随x的变化情况如下表：
x(0,410)410（410，20）
y′－0+
y?极小值?
由表可知，函数在（0，410）内单调递减，在（410，20）内单调递增，所以y??最小值?=y│x=410=116，此时x=410。故在?AB?⌒上存在点C，使得建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小，该点与城A的距离x=410km。
评注：这是一道以环境保护为背景的函数与导数的优化问题应用题，体现新课程特点，试题入口很容易。文字表达偏长、计算量不小。
2.概率统计类型问题
例2：（2009年高考福建卷•理）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40％。现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的决果。经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：
A. 0.35 B. 0.25 C. 0.20 D. 0.15
解：在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的数有191、271、932、812、393共五组，所以运动员三次投篮恰有两次命中的概率为25％,故选B。
例3：（2010年高考全国课标卷• 理）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：
（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（Ⅱ）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。附：
P(K?2≥k)0.0500.0100.001
k3.8416.63510.828
K?2=n(ad-bc)?2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)（此公式也可以写成x?2=n(n??11?n??22?-n??12?n??21?)?2n?1+n?2+n??+1?n??+2?）
解（Ⅰ）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为70500=14％。（Ⅱ）K?2=500×(40×270-30×160)?2200×300×70×430≈9.967.由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好。
评注：概率统计的内容应用性较强，解答题包含离散型随机变量分布列与期望、统计图表等等。
3.可转化为数列的问题
例4：（2009年高考福建卷•理）五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次。已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为。
解：设报到第n个数为a?n,则有a?1=1,a?2=1,a?n+a??n+1?=a??n+2?,n∈N?*，写出前几项，可看出规律a??4m?为3的倍数，m∈N?*.由此可得在报到第100个数时，甲同学拍手总次数为5。
评注:这是一道创新试题，背景是数学游戏，将实际问题抽象为数列模型，解题的关键是要研究数列的项的变化规律，通过对前若干项的观察、分析，发现规律。2004年高考福建（理）20的应用题涉及“利润问题”可抽象为数列模型解决。
4.可转化为解析几何问题
例5：（2010年高考湖南卷•文）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图），考察范围为到A、B两点的距离之和不超过10km的区域。（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；（Ⅱ）如图所示，设线段P?1P?2是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍。问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？
分析：本题注意到现实大环境和社会生活实际两个方面，首先将实际问题“数学化”，综合运用直线方程、椭圆方程、点到直线的距离公式、等比数列前n项和公式等基础知识分析解决问题。问题的解决需要较高的阅读、理解能力。第（Ⅰ）问设边界曲线上点P的坐标为(x,y)，则由│PA│+│PB│=10及AB=8，易得考察区域边界曲线的方程为X?225+Y?29=1；第（Ⅱ）问易知直线P?1P?2方程为4X－3Y+47=0，A到直线P1P2的距离为d=315。设经过n年点A恰好在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得0.2(2?n-1)2-1=315，解得n=5，即经过5年，点A恰好在冰川边界线上。
评注：此题与2010年高考湖南数学（理）19的题设背景都一致、相似而难易程度不同。
5.现性规划型问题
例6：（2010年高考广东卷•理）某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C。另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C。
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
分析：求解本题的关键是将现实问题转化为线性规划问题，运用线性规划知识分析解决问题，着重考查应用意识。设应当为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐,所用费用为z元，列出线性约束条件6x+6y≥426x+10y≥5412x+8y≥64x≥0,y≥0和目标函数z=2.5x+4y,可行域如图所示，易知z=2.5x+4y在M(4,3)处取得最小值。所以为该儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐时,花费最少。
评注：本题根据所学到的数学知识，把生活中遇到的一些问题，通过构造数学模型，然后再用数学知识解决，体现了数学就在自己身边与现实生活中，较好地引导学生用数学眼光看世界。
为适应高考新特点，在数学教学中加强应用题专题训练，突显新课程理念，重视培养学生的应用意识和数学应用能力。解决应用问题，首先要加强数学语言的阅读理解、表达与转化的能力训练，弄清信息内容之间的联系；其次对应用题中的基本数量关系进行剖析，把实际问题抽象成数学问题，即建立模型；第三是解答数学问题，最后解决实际问题。?