近几年来，数列的命题呈现这样一个特点:基于等差数列、等比数列，用抽取或叠加的方式产生“子数列”，考查推理论证能力．试题难度都比较大，不少都涉及初等数论知识．本文就数列中“整解”问题略举几例，与大家共同归纳总结，以期寻求到解决此类问题的钥匙．
一、从整数的整除性探究存在性
例1 （2009江苏高考）设{a??n?}是公差不为零的等差数列，S??n?为其前n项和，满足a??2???2?+a因此，2??n-1?-m+1≠0,①式可化为b=2+t2??n-1?+m+1,
由于2??n-1?-m+1可取到一切正整数，且b≥3，故要至少有三个b,使得a??m?+t=b??n?(t∈N)成立，
必须使整数2+t至少有三个大于或等于3的不同的因数，故满足条件的最小整数为12，即t的最小值为10，此时b=3,4,6或12.
点评:要探究b的存在性，需要先将b表达出来．
例３ 已知数列{c??n?}的通项公式是c??n?=nn+2011，对于任意给定的正整数k,
是否存p,q∈N?*在使得c??k?=c??p?•c??q??
若存在，求出p,q的值（只要求写出一组即可）;若不存在，说明理由．
解析:假设存在p,q，满足c??k?=c??p?•c??q?,则
kk+2011=pp+2011•qq+2011
，取倒数,得k+2011k=p+2011p•q+2011q
即1+2011k=1+2011p+2011q+2011×2011pq
整理，得q=k(p+2011)p-k
取p=k+1,则q=k(k+2012).
（也可以取p=2k,q=2k+2011.）
点评:（1）要探究的p,q存在性，需要先将p或q表达出来;（2）本题中k是“给定的”，作为已知常数，而不能理解为关于k的恒等式．
即存在ｍ＝２，ｎ＝１２时，a??1?,a??m?,a??n?成等比数列．
可以看出，数列中的“整解”问题，通常围绕数列通项与求和问题展开，利用初等数论知识探究存在性．常从等式两边的符号，奇偶性角度寻找矛盾来否定存在性，或从约数和倍数的角度进行合理的因数分解或因式分解，构造等量关系来肯定存在性．有时需要我们综合多种途径解决问题．最后让我们一起来赏析这样一例．
例7 下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S．其特点是每行每列都是等差数列，第i行第j列的数记为A??ij?．
1 4 7 10 13 …?
4 8 12 16 20 …?
7 12 17 22 27 …?
10 16 22 28 34 …?
13 20 27 34 41 …?
… … … … … …
（1）证明:存在常数C∈N?*,对任意的正整数i,j,A??ij?+C总是合数;
（2）设S中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列{b??n?}．
试证:不存在正整数k和m（1＜k＜m），使得b??1?,b??k?,b??m?成等比数列;
（3）对于（2）中的数列{b??n?}，是否存在正整数p和r （1＜r＜p＜150），使得b??1?,b??r?,b??p?成等差数列．
若存在，写出p，r的一组解（不必写出推理过程）;若不存在，请说明理由．
解析:（1）因为第一行数组成的数列{A??1j?}（j=1,2,3,…）是以1为首项，公差为3的等差数列，所以A??1j?=1+(j-1)×3=3j-2,
第二行数组成的数列{A??2j?}（j=1,2,3,…）是以4为首项，公差为4的等差数列，
所以A??2j?=4+(j-1)×4=4j
所以A??2j?-A??1j?=4j-(3j-2)=j+2,
所以第j列数组成的数列{A??ij?}（i=1,2,3,…）是以3j-2为首项，公差为j+2的等差数列，
所以A??ij?=3j-2+(i-1)×(j+2)
=ij+2i+2j-4
=(i+2)(j+2)-8
故A??ij?+8=(i+2)(j+2)是合数．
所以当C=8时，对任意正整数i,j,A??ij?+C总是合数．
（2）（反证法）假设存在k、m，1＜k＜m，使得b??1?,b??k?,b??m?成等比数列，即b??2???k?=b??1?b??m?
∵b??n?=A??nn?=(n+2)??2?-8,
∴1×［(m+2)??2?-8］=［(k+2)??2?-8］??2?,
得(m+2)??2?-［(k+2)??2?-8］??2?=8,
即［(m+2)+(k+2)??2?-8］［(m+2)-(k+2)??2?+8］=8,
又∵1＜k＜m，且k,m∈N?*
∴k≥2,m≥3,
进而(m+2)+(k+2)??2?-8≥5+16-8=13,
∴(m+2)-(k+2)??2?+8∈(0,1),
这与(m+2)-(k+2)??2?+8∈Z矛盾，
所以不存在正整数k和m(11,
不成立，这样的三角形不存在．
点评：条件或结论开放性问题，应发散自己的思维，结合所学的知识点进行分析，从而可寻找出所要补的条件和能得出的结论.