不等式的证明是高中数学的一个重要内容,高考中往往出现在解答题中,涉及到代数运算、函数思想、数列、几何、逻辑推理等知识,证法多样,思维严谨,若能根据题目特征,灵活地运用相应的数学方法,往往能迅速确定解题思路,从而使问题简捷、准确地获解.
一、 比较法
例1 设a、b是非负实数,求证:a?3+b?3≥ab(a?2+b?2).
简解: a?3+b?3-ab(a?2+b?2)=a?2a(a-b)+b?2b(b-a)
=(a-b)[(a)?5-(b)?5]
当a≥b时,a≥b,从而(a)?5≥(b)?5,得(a-b)[(a)?5-(b)?5]≥0;
当a<b时,a<b,从而(a)?5<(b)?5,得(a-b)[(a)?5-(b)?5]
<0
所以a?3+b?3≥ab(a?2+b?2).
二、 分析法
例2 已知a>0,b>0,2c>a+b,求证:c-c?2-ab<a<c+c?2-ab.
简解:要证c-c?2-ab<a<c+c?2-ab,只需证,-c?2-ab<a-c<c?2-ab
只需证,|a-c|<c?2-ab即证,(a-c)?2<c?2-ab
即证a?2-2ac<-ab,∵ a>0,只需证,a-2c<-b
即证a+b<2c,这为已知.故原不等式成立.
点评:分析法是执果索因,其步骤为未知→需知→已知,在操作中“要证”,“只需证”,“即证”这些词语是不可缺少的.
三、 综合法
例3设函数f(x)=2x(1-ln2x),
求证:对任意a、b∈R?+,均有f′a+b2≤f′(a)+f′(b)2≤f′2aba+b.
简解:
f′(x)=-2ln2x,f′(a)+f′(b)2=-ln4ab,
f′a+b2=-ln(a+b)?2≤-ln4ab,
f′2aba+b=-2ln2•2aba+b≥-2ln4ab2ab=-ln4ab,
∴ f′a+b2≤f′(a)+f′(b)2≤f′2aba+b.
点评:综合法是由因导果,其步骤为:从已知条件出发,利用有关定理、公理、公式、概念等推导出结论不等式.
四、 基本不等式法
例4 已知a、b、c均为正数,证明:a?2+b?2+c?2+1a+1b+1c?2≥63,并确定a、b、c为何值时,等号成立.
简解:因为a、b、c均为正数,由基本不等式得:
a?2+b?2≥2ab
b?2+?2≥2bc
c?2+a?2≥2ac
所以a?2+b?2+c?2≥ab+bc+ac①
同理1a?2+1b?2+1c?2≥1ab+1bc+1ac②
故a?2+b?2+c?2+1a+1b+1c?2
≥ab+bc+ac+31ab+31bc+31ac③
≥63
所以原不等式成立.
当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a=b=c,(ab)?2=(bc)?2=(ac)?2=3时,③式等号成立,
即当且仅当a=b=c=3?14时,原式等号成立.
点评:利用基本不等式必须注意:“一正,二定,三相等.”
五、 反证法
例5 已知p?3+q?3=2,求证:p+q≤2.
分析:本题由已知条件直接证明结论,?难找到证明的方法,正难则反,可以利用反证法.
简解:假设p+q>2,则p>2-q,p?3>(2-q)?3,
∴ p?3+q?3>q?3+(2-q)?3=q?3+8-12q+6q?2-q?3=6q?2-12q+8=6(q-1)?2+2≥2
∴ p?3+q?3>2与p?3+q?3=2矛盾,∴ p+q≤2.
点评:正难则反,使用反证法,从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证明结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的.
六、 放缩法
例6 设数列{a?n}满足a?1=0且11-a??n+1-11-a?n=1.
(1) 求{a?n}的通项公式;
(2)设b?n=1-a??n+1n记S?n=??∑nk=1?b?n,证明:?S?n<1.
分析:要证S?n<1,先求出{b?n}的通项公式,再求{b?n}的前n项的和S?n,最后利用放缩法.
简解:(1)a?n=1-1n;
(2)b?n=1-a??n+1n=n+1-nn+1•n=1n-1n+1,
S?n=??∑nk=1?b?n=??∑nk=1?1k-1k+1=1-1n+1<1.
点评:放缩法是利用不等式的传递性,按题意及目标,作适当的放大或缩小,常用的放缩技巧有:
(1) 舍掉(或加进)一些项;(2)在分式中放大或缩小分子(或分母);
七、 柯西不等式法
例7 若n是不小于2的正整数,求证:47<1-12+13-14+…+12n-1-12n<22.
分析:从所要证明的不等式结构可转化为柯西不等式来证.
简解:1-12+13-14+…+12n-1-12n=1+12+13+…+12n-212+14+…+12n=1n+1+1n+2+…+12n
所以求证式等价于47<1n+1+1n+2+…+?12n<22
由柯西不等式有1n+1+1n+2+…+12n[(n+1)+(n+2)+…+2n]>n?2于是:1n+1+1n+2+…+12n>n?2(n+1)+(n+2)+…+2n=2n3n+1=23+1n≥47
又由柯西不等式有
1n+1+1n+2+…+12n<?
(1?2+2?2+…+n?2)1(n+1)?2+1(n+2)?2+…+1(2n)?2<?
n1n(n+1)+1(n+1)(n+2)+…+1(2n-1)(2n)=?
n1n-12n=22
八、 构造法
例8 已知a、b∈R,求证:|a+b|1+|a+b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.
分析:本题若从绝对值不等式方面入手比较难,但观察不等式两边的结构,可看出是函数f(x)=x1+x(x≥0)自变量x分别取|a+b|、|a|、|b|的函数值,从而可构造函数求解.
简解:构造函数f(x)=x1+x(x≥0),首先判断其单调性,设0≤x?1<x?2,因为f(x?1)-f(x?2)=x?11+?1-x?21+x?2=x?1-x?2(1+x?1)(1+x?2)<0,所以f(x?1)<f(x?2),所以?f(x)在[0,+∞]上是增函数,取x?1=|a+b|,x?2=?|a|+|b|,显然满足0≤x?1≤x?2,所以f(|a+b|)≤?f(|a|+|b|),
即|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.
点评: 抓住不等式的结构和特点,转化为函数思想求解是解决此题的关键.
(责任编辑:朱善宏)