摘 要：洛必达法则是处理不定式极限的重要工具，是计算型或型极限的简单而有效的法则，阐述了在用洛必达法则求极限的过程中，要灵活应用乘除因子的等价无穷小代换方法。 关键词：洛必达法则 乘除因子 等价无穷小
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1007-3973（2012）002-174-02
1 引言
在某极限过程中，函数f(x)与g(x)都是无穷小量或都是无穷大量时， 的极限可能存在，也可能不存在。通常称这种极限为不定式，并分别简记为型或型。洛必达法则是处理不定式极限的重要工具，是计算型或型极限的简单而有效的法则。但是，在计算的过程中，要注意乘除因子要用其等价无穷小量来代替，这样就会大大简化计算过程。本文主要阐述了在用洛必达法则求极限的过程中，要灵活应用乘除因子的等价无穷小代换的方法。
2 型
对于型，当满足洛必达法则的条件时，就可以对分子分母同时进行求导，在计算过程中，要注意乘除因子要用其等价无穷小量来代替。
例1
该极限满足洛必达法则的条件，如果对分子分母同时进行求导，分母会变得越来越复杂，但是，当 时，tanx~x，所以在解题过程中，要注意乘除因子要用其等价无穷小量来代替。
解：原式= （分母tanx用其等价无穷小x来 代替，这样分母越求导越简单）
（对上式进行洛必达法则，对分 子分母进行求导）
例2
该极限也满足洛必达法则的条件，但如果对分母进行求导，同例1一样，分母会变得越来越复杂，所以当 时， ，所以在解题过程中，要注意乘除因子要用其等价无穷小量来代替。
解：原式＝（分母中的两个因子可以用其等 价无穷小来代替）
（用洛必达法则对分子分母进行求导）
3 型
对于型来说，在计算过程中，在利用洛必达法则的同时也要时刻注意乘除因子要用其等价无穷小量来代替。
例3
当＋时，tan2x?2x，tan7x~7x
解：原式= （此极限满足洛必达法则的 条件，对分子分母进行导）
（因子tan2x与tan7x可 用其等价无穷小来代替）
例4
当 ＋时，sinx~x
解：原式=（此极限满足洛必达法则的条件，对 分子分母进行求导）
（因子sinx可用其等价 无穷小x来代替）
4 其他不定式
对于函数极限的其他一些不定式，例如和 型等，处理它们的总原则是设法将其转化为型或型，再应用洛必达法则，在计算极限的过程中，乘除因子用其等价无穷小量来代替会简化计算过程。
例5
显然，这个极限是00型，所以要对函数进行变形。当 时，sinx~x，乘积因子sinx可以用其等价无穷小量x代替。
解： 原式
（因子sinx可用其等价无
穷小x来代替）
（此极限满足洛必达法则的 条件，对 分子分母进行 求导）
例6
显然，这个极限是1∞型，要对函数进行变形，并且当 时，sinx~x，tanx~x，乘积因子sinx与tanx可以用其等价无穷小量代替。
解： 原式
（因子tanx用其等价无穷小x
代替）
（此极限满足洛必 达法则的条件， 对分 子分母进行求导）
（因子sinx用其等价无穷小x代替）
（此极限满足洛必达法则的条 件，对分子分母进行求导）
（因子sinx用其等价无穷小x代替）
5 结束语
洛必达法则是求不定式的一种有效方法，但不是万能的，我们要学会具体问题具体分析，最好能与其他求极限的方法结合使用，能简化时就简化；可以应用等价无穷小替代重要极限时，应尽可能使用，这样可以使运算简单。
(基金项目：《高等数学》课程教学之应用能力培养研究，2011校级课题教师教研项目)
参考文献：
[1] 同济大学数学教研室.高等数学(上册)[M].北京:高等教育出版社,2002.
[2] 黄立宏.高等数学上册[M].上海:复旦大学出版社,2010.