在学习等腰三角形时,我们常常需要根据研究对象性质的差异,分各种不同情况予以考察,否则导致片面认识。分类思想是一种重要的数学思想,同时也是一种解题策略。下面就等腰三角形中常见的分类剖析,希望对同学们有所帮助。
一、 按边分类
等腰三角形的边可分腰和底,若题中没有指明边的身份,必须分类讨论。
例1 等腰三角形两边长分别为4、6,它的周长为。
分析:(一)腰为4,则三角形三边为4、4、6,符合构成三角形的条件。它的周长为14。
(二)腰为6,则三角形三边为6、6、4,符合构成三角形的条件。它的周长为16。
综合(一)、(二),此题答案为14、16。
点评:对于此类题目在进行分类讨论时,必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形。
例2 已知一个直角三角形的两直角边分别为3、4, 用另一个直角三角形与它拼成一个等腰三角形,求这个等腰三角形的周长。
分析:如图1,由于两直角三角形拼凑,有两直角边重合,另两直角边在同一条直线上,所以斜边AC为拼成的等腰三角形的一边。
可分(一)AC为底。
如图2,作AC的垂直平分线交CB的延长线于D,连结AD。
设DB 为x,AD=DC=3+x, 在直角三角形ADB中,根据勾股定理,列方程(x+3)?2=x?2+4?2 ,解之得:x= 76。
可得等腰三角形ACD的周长为 403 。
(二)AC为腰。
(1)以顶点为A的角即∠DAC为顶角。
?a:?如图 3,两直角三角形以AB为重合边。以点A为圆心,AC长为半径画弧交CB的延长线于D点,连结AD。可得等腰三角形ACD的周长为16。
?b:?如图 4 ,两直角三角形以BC为重合边。以点A为圆心,AC长为半径画弧交AB的延长线于D点,连结CD。可得等腰三角形ACD的周长为 10+10 。
(2)以顶点为C的角即∠ACD为顶角。
?a:?如图 5 ,两直角三角形以AB为重合边。以点C为圆心,CA长为半径画弧交CB的延长线于D点,连结AD。可得等腰三角形ACD的周长为10+25 .
?b:?如图6,两直角三角形以BC为重合边。以点C为圆心,CA长为半径画弧交AB的延长线于D点,连结CD。可得等腰三角形ACD的周长为18。
综合(一)、(二),这个等腰三角形的周长为403、16、10+10、10+25、18。
点评:通过此题分类讨论,我们可以了解分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行。
二、 按角分类
等腰三角形的角可分顶角和底角,若题中没有指明角的身份,必须分类讨论。
例3 等腰三角形的一角为50?°?,它的另外两角为。
分析:(一)50?°?的角为顶角,则它的另外两角为65?°?、65?°?。
(二)50?°?的角为底角,则它的另外两角为50?°?、80?°?。
综合(一)、(二),此题答案为65?°?、65?°?;50?°?、80?°?。
例4 在直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(2,1).在x轴上找一点B,使△AOB为等腰三角形。则点B的坐标为。
分析:由于等腰三角形的顶角较特殊,所以此题可按顶角一次分类到位。
(1)以顶点为O的角即∠AOB为顶角。
如图 7,以点O为圆心,OA长为半径画弧交x轴于点B?1、B?2 ,可求OA长为 5 ,点B?1 的坐标为(-5,0),点B?2的坐标为(5,0)。
图7图8
(二)以顶点为A的角即∠OAB为顶角。
如图8,以点A为圆心,AO长为半径画弧交x轴于点B,可求点B 的坐标为(4,0)。
(三)以顶点为B的角即∠OBA为顶角。
如图9,作线段OA的垂直平分线交x轴于点B 。
设O B为x, 则A B为x,根据勾股定理,列方程(2-x)?2+1?2=x?2,解之得:x=54,点B的坐标为(54,0)。
综合(一)、(二)、(三),此题答案为(-5,0)、(5,0)、(4,0)、(54,0)。
图9
三、 按三角形的形状分类
等腰三角形按角可分:等腰锐角三角形、等腰直角三角形、等腰钝角三角形。若题中没有指明三角形的形状,必须分类讨论。
例5 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30?°?,则等腰三角形的顶角为。
点评:此题特别注意画图的准确性。由于学生缺乏分类意识,常常画出一种图形定型,导致漏解。
分析:此题等腰直角三角形不符合题意。可分等腰锐角三角形、等腰钝角三角形。
(1)锐角三角形,其腰上的高在三角形内部。如图10,可求等腰三角形的顶角为60?°(2)钝角三角形,其腰上的高在三角形外部。如图11,可求等腰三角形的顶角为120?°?。
综合(一)、(二),此题答案为60?°?、120?°?。
巩固练习
图12
1. 已知,如图12,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为A(10,0)、C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为。
2. 若一个等腰三角形被一直线分成两个等腰三角形,则原等腰三角形的顶角为。
3. 学校为美化环境,计划在校园的广场用30?m?2?的草皮铺设一块一边长为10?m?的等腰三角形绿地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
(朱长江 江苏省姜堰官庄中学 225529)