在人教版普通高中课程标准实验教科书《物理(选修3―1)》第一章第3节内容中给出了等量异号点电荷和等量同号点电荷的电场线分布图,如图1所示 图1 图中等量异号点电荷在它们的连线及中垂线上的电场线描绘得很清楚,而等量同号点电荷的连线及中垂线上的电场线却没有描绘,这可能是编者基于一定的考虑在此作了“留白”处理。近年来,以等量同号点电荷为情景对电场力的性质和能的性质作了重点考查,命制的试题都很有深度。下面就以等量同号正点电荷为例,分析中垂线上有关电场强度和电势的变化规律。
1. 中垂线上场强及电势的变化规律
1.1 中垂线上场强的变化规律
现设两正点电荷之间的距离为2a,它们的电量均为Q,如图2所示
图2
由电场的叠加原理可得图2中p点的电场强度
E?p=2kQ(a/?cos?θ)?2?sin?θ=2kQa?2?sin?θ(?cos?θ)式中θ∈[0?°?,90?°?),因上述函数较复杂,现以y=?sin?θ(?cos?θ)?2来讨论并利用Excel工具定性判断函数的单调性,如图3所示
图3
由图3可知,当θ从0?°?增大到90?°?时,电场强度E?p先增大后减小,而且θ在34?°?～36?°?(当θ=35?°?时,y=0.3849)之间有最大值。由于对称性,中垂线下半部分变化规律与上半部分相同,E?p也是先增大后减小。由柯西不等式可算出?sin?θ=3/3,即θ=35.24?°?时E?p达最大值。
θ0510152025303335
y00.0860.1680.2410.3020.34710.3750.38310.3849
θ374045505560657075
y0.38380.3770.3540.3170.2690.2170.162110.065
θ80
y0.03
1.2 中垂线上电势的变化规律
在高中阶段,尽管对点电荷在空间某处的电势不以公式作定量计算的要求,但经常会以“沿电场线的方向电势降落或电势能的变化”来定性考查电势的变化。为更好阐述后面的问题,简要推导图2中p点的电势,设op为x,则
φ?p=2kQa?2+x?2=2kQa[1+(x/a)?2]?-1/2
由于上述的关系式比较复杂,现对它进行无量纲化处理,并利用Excel工具画出下面表达式φ?p的图像,如图4所示
φ?p=φ?p2kQ/a=[1+(x/a)?2]?-1/2
x/a-6-5-4-3-2.5-2-1.5-1-0.75-0.4-0.2
φ?p0.1640.1960.2430.3160.3710.4470.5550.7070.80.9280.981
00.20.407511.523456
10.9810.9280.80.7070.5550.4470.3160.2430.1960.164
图4
根据图4可见,在o点电势最高,沿中垂线向上或向下都是电势逐渐降低的,而且关于o点对称。
2. 高考试题分析及拓展运用
图5
题例1 (09安徽理综18)在光滑绝缘水平面上,有一个正方形abcd,顶点a、c处分别固定一个正点电荷,电荷量相等,如图5所示。若将一个带负电的粒子置于b点,自由释放,粒子将沿对角线bd往复运动。粒子从b点运动到d点的过程中()
?A. 先作匀加速运动,后作匀减速运动
?B. 先从高电势到低电势,后从低电势到高电势
?C. 电势能与机械能之和先增大,后减小
?D. 电势能先减小后增大
分析与解 由前面分析场强得到的规律,容易判断出带负电的粒子从b点运动到d点过程中:先作加速度增大的加速运动,后作加速度减小的加速运动,到达bd中点时加速度为零;再作加速度增大的减速运动,最后作加速度减小的减速运动,到d点速度减为零,其中加速度最大的位置为该点和a的连线与ac的夹角θ=35.24?°?处。带负电粒子先从低电势到高电势,后到低电势,电势能先减小后增大;因只有电场力做功,则其电势能与机械能之和保持不变,故仅有选项?D?正确。
图6
题例2 (09江苏卷 8)空间某一静电场的电势φ在x轴上分布如图6所示,x轴上两点B、C的电场强度在x方向上的分量分别是E?Bx、E?Cx,下列说法中正确的有()
?A. E?Bx的大小大于E?Cx的大小
?B. E?Bx的方向沿x轴正方向
?C. 电荷在o点受到的电场力在x方向上的分量最大
?D. 负电荷沿x轴从B移到C的过程中,电场力先做正功,后做负功
分析与解 图6描述的电势φ在x轴上的分布图对多数考生是很陌生的,所以题目难度较大。其实,两个等量的正点电荷中垂线上电势的分布图正是上图的一个实例,如图4所示。对极小的一段Δx对应电势差U=Δφ,x方向场强分量E?x=Δφ/Δx,即图线斜率,显然B处的斜率大于C处斜率的大小,A选项正确。对应到实例中,容易得出在图6中o点在x方向上的场强为零,C选项错误;E?Bx的方向沿x轴负方向,E?Cx的方向沿x轴正方向,B选项错误,?D?选项正确;
拓展题例1 如果在上述两个固定的等量正点电荷的中垂线上某个离O点很近的位置自由释放一个质量为m,电量为q的带负电粒子,若粒子仅受电场力,试分析它将做什么运动?
分析与解 点电荷-q做什么运动取决于它在电场中所受电场力的情况,仍设两正点电荷之间的距离为2a,它们的电量均为Q,如图2所示,当在图2中p点位置时,相对平衡位置的位移为x,以x的方向为正方向,根据库仑定律,-q所受的电场力方向指向o点,合力大小
?∑?F=2kQqa?2+x?2•xa?2+x?2
=2kQqa?31+xa?2?-3/2•x
注意到小振幅振动x?a,x/a是小量,并忽略高阶小量,则有
?∑?F=-2kQqa?3•x
可见+q所受合力为线性变化力,且方向总与位移相反,故为简谐运动。
图7
拓展题例2 两个电荷量均为+Q的带电小球M、N(均可视为点电荷)固定在如图7所示的y坐标轴上。现有一个电荷量为+q的小球(重力不计,可视为点电荷)以某一初速度从y轴左边很远处沿x轴飞来。若取无限远处电势为零,M、N在x轴上任意点的电势可表示为φ?x=C/d?2+x?2(常数C>0)。要使小球通过y轴的右边的A(x,0)处,则初速度υ?0应满足什么条件?
分析与解 根据等量同号点电荷中垂线上场强的规律,带电量为+q的小球从y轴左边很远处沿x轴运动到o点场强方向沿x轴负方向,电场力对小球的运动是阻力,但在x正半轴上电场力是动力,可见只要小球能通过o点,它就能通过图上A点;从电场能的性质分析,由等量同号点电荷中垂线上电势的规律可知,小球从y轴左边很远处沿x轴运动到o点是由低电势到高电势的过程,到o点电势能增加到最大,而动能减少到最小,同样可见只要小球能通过o点,它就能通过图上A点,故υ?0应满足
结束语除上述两题例之外,像2007年山东19题、2008年山东21题和上海单科14题等均是以等量同号点电荷为情景进行命制的高考试题,可见适当挖掘教材中的一些知识点的留白处是很有必要的。尤其是在高三复习教学中教师要是能敏锐地捕捉到这些既能考查学生能力又符合考试大纲范围的知识点的延续处将会显得更有意义。
(丁俊宏 江苏省苏州市吴县中学 215151)