【摘要】 微分中值定理在高等数学中占有非常重要的地位,微分中值定理主要包括:拉格朗日中值定理,罗尔中值定理,以及柯西中值定理。本文主要对罗尔中值定理的条件做一些适当的改变,能得出如下一些结论,从而扩大罗尔定理的应用范围。从拉格朗日中值定理的几何意义出发,通过几何直观,把数学分析空间解析几何知识有机的结合起来,改变传统的构造函数差的方法,通过构造行列式函数得出定理的新方法。通过对这两个定理进行分析,并加以推广,结合几个常见的实例论述了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理。在证明不等式,求函数极限等方面的应用,从而加深对两个定理的理解。
【关键词】 罗尔定理 拉格朗日中值定理 证明 推广 应用
1引言
在高等数学中微分中值定理占有着非常重要的作用,微分中值定理不仅是微积分的重要结论之一,也是最基本的定理之一.它不仅沟通了函数与其导数的关系,也是应用数学研究函数在区间整体性态的有力工具之一.罗尔中值定理条件最强,因而结论更加特殊,拉格朗日中值定理可以看成罗尔中值定理的推广.本文将罗尔中值定理由区间 推广到了区间 ?(a,b)?,由 推广到了区间(-∞,+∞) ,由?f(a)=f(b)? 推广到(有限或±∞).而将拉格朗日中值定理中的可微条件适当放宽,使其具有更加广泛的意义.
2罗尔定理
若函数f满足如下条件:
f在闭区间[a,b]上连续,
f在开区间(a,b)内可导,
f(a)=f(b)
则在(a,b)内至少存在一点c,使得f?、(c)=0.
2.1罗尔定理的推广
定理1:设(a,b)为有限或无穷区间?f(x)?在(a,b)内可微且(有限或 )±∞,
则?c∈ ,使得f?、(c)= 0.
证明:先证A为有限数的情形,若使f(x)=A ,则f?、(x)=0,所证显然成立.
若f(x)=A不成立,则存在x?0∈(a,b),使得f(x?0)≠A,
设f(x?0) >A (对f(x?0) <A 同理可证),
由于=A,
因函数f(x)在(a,b)内连续,对于任意取定的实数 μ(A<μ<f(x) ),
?x?1∈(a,x?0 ),x?2 (x?0 ,b),
使得?f(x?1)=f(x?2)=μ?,
在闭区间[x?1,x?2 ]上用罗尔定理,
可得使得f?、(c)0,
再证A+∞,的情形(A=-∞, 的情形,同理可证).
由于 =+∞,
取定x?0∈(a,b)及μ>f(x?0) ,
则由于f(x)在(a,b)内连续,故?x?1∈(a,x?0),x?2(x?0,b),使得f(x?1)=f(x?2)=μ,
在闭区间[x?1,x?2]上用罗尔定理,可得使得f?、(c)=0.
2.2定理1的5条推论
推论1:设f(x)在(a,b)内可导,且=A≠∞ ,则在区间(a,b)内至少存在一点c,使得f?、(c) 0.
推论2:设f(x)在(a,b)内可导,且+∞ ,则在区间(a,b)内至少存在一点c,使得 f?、(c) 0.
若=-∞,结论同样成立.
推论3:设f(x)在(-∞,+∞)可导,且==A,则在(-∞,+∞)至少存在一点 ,使得f?、(c) 0.
推论4: 设f(x)在(-∞,+∞)可导, 且+∞,=+∞ ,则在区间(-∞,+∞)内至少存在一点c,使得f?、(c) 0.
若=-∞,=-∞ ,结论同样成立.
推论5:设f(x)在(a,+∞)可导, 且==A ,则在(a,+∞)至少存在一点c,使得f?、(c) 0.
3拉格朗日中值定理
若函数f 满足如下条件:
f(x)在[a,b]连续
f(x)在(a,b)可导
则在(a,b)中至少存在一点c,使f?、(c)=f(b)-f(a)b-a
3.1拉格朗日中值定理几何证明方法
多数教材都是通过构造辅助函数F(x)=f(x)-f(a)b-a(x-a)来证明拉格朗日中值定理的,故F(x)表示曲线y=f(x)与直线AB(y + (x-a)+f(b)-f(a)b-a(x-a))之差从而使F(x)满足罗尔中值定理的要求,利用罗尔中值定理证得结论.无论通过何种方式,只要构造函数满足罗尔定理即可找到辅助函数满足罗尔定理条件.从几何意义上讲,就是找到一种几何量(长度,面积等)使得它在A,B值相等,在M点取得极值,满足罗尔定理,即可导出拉格朗日中值定理.
已知f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,证明在(a,b)中至少存在一点?,使f?、(?)=f(b)-f(a)b-a.
已知光滑曲线 T:
证明:引理:在平面直角坐标系中,已知A 、B 、C三个顶点的坐标A(f(a),g(a)),B(f(b),g(b)),C(f(c),g(c))
则ABC得面积为
易知:S(x)记由(a,f(a) ),(b,f(b) ),(x,f(x)) 三点组成三角形的面积,
又因为S(x)在[a,b]上连续,且在(a,b) 可导,有S(a)=S(b)=0,
则由罗尔中值定理,存在一点?∈(a,b) 使得S?、(?)=0
令g(x)=x,即
3.2拉格朗日中值定理推广定理1
如果函数f(x)满足:
(1)在区间[a,+∞]连续,
(2)在区间(a,a,+∞)可导,
(3)=M
那么在(a,+∞) 内至少存在一点c (a<c<+∞),
使得f?、(c)=[M-f(a) ]/(c-a+1)?2.
证明:令t=1x-a+1,即x=1t+a-1=φ(t)
3.3拉格朗日中值定理推广定理2
如果函数f(x)满足:
(1)在区间(-∞,+∞)连续,
(2)在区间(-∞,+∞)可导,
3.4拉格朗日中值定理推广定理3
设函数f在闭区间[a,b]上连续,
若函数在(a,b)内除了有限个点外可微,
则存在c∈(a,b),使得 |f(b)-f(a)|≤|f?、(c)|(b-a).
证明:不妨设f仅在d∈(a,b) 不可微,分别在区间 [a,d]与[d,b]上应用拉格朗日中值定理,则得到
3.5拉格朗日中值定理推广定理4
这个证明方法显然可以推广到f在n个点(n>1)上不可微的情形.
4微分中值定理的应用
1.设f(x)在[a,b]上二阶可导,f(a)=f(b),证明:对任意x∈[a,b],存在c∈,[a,b]使得,f(x)=f??、、?(c)2(x-a)(x-b)
证明:固定x∈(a,b)令λ是使f(x)=λ2成立的常数(由于f(x),12(x-a)(x-b), 都是常数,这个λ必然存在).
于是我们只需要证明存在c∈[a,b],使f??、、?(c)2=λ,
令F(t)=f(t)-λ2(t-a)(t-b),
由于f(a)=f(b)=0,得到F?、(
??? ?1)=F?、(
??? ?2)=0,
再从λ,的定义知,F(x)0.
在区间[a,x][x,b], 上分别对F(t)应用罗尔定理,
得到
??? ?1,
??? ?2,a<
??? ?1<
??? ?2<b,使F?、(
??? ?1)=F?、(
??? ?2)=0,
在闭区间[
??? ?1,
??? ?2]上,对F?、(t)应用罗尔定理,
则得到c∈ (
??? ?1,
??? ?2)?[a,b] ,
使 F??、、?(c)=0,即f??、、?(C)=λ,证毕.
2.设f为[a,b] 上二阶可导函数,f(a)=f(b)=0,并存在一点c∈(a,b),使得f(c)>0.证明:至少存在一点?∈(a,b),使得f??、、?(?)<0.
证明:由拉格朗日中值定理中,存在??1∈(a,c),使f(c)-f(a)=f?、(??1)(c-a),
由于f(a)=0,f(c)>0,c-a>0故f(??1)>0,
又对f(x)在[c,b]上应用,拉格朗日中值定理,
存在??2∈(c,b)使得f(b)-f(c)=f?、(??2)(b-c),
因为f(b)=0,f(c)>0,(b-c)>0.
故f?、(??2)<0,由于α<??1 <c<??2<b.
∴f?、(x)在[??1,??2]上可导,
故存在?∈(??1,??2),(??1,??2)?(a,b),使f?、((??1)-f?、((??1)=(??2-??1)f??、、?(?) .
因此得出f??、、?(? <0.?
参考文献?
[1]华东师范大学数学系:《数学分析上册》,高等教育出版社.?
[2] 同济大学.高等数学第五版(上册).北京:高等教育出版社,2005.?
[3] 张玉莲 杨要 杰拉格朗日中值定理的推广,河南教育学院报.?
[4] 陈大均 微积分基本公式和中值定理,工科数学,1995.?
[5] 吕林根,许子道。解析几何(第三版):北京市高等教育出版社,1991.?
[6] 徐新亚, 夏海峰 编著:《数学分析选讲》,同济大学出版社.?
[7] David C.lay著,刘深泉等译.线性代数及应用.北京:机械工业出版社,2005,11.