在学习圆锥曲线时,同学们常提出这样的问题: (1)一条直线与双曲线最多有几个交点; (2) 双曲线一支的切线能与另一支相交吗? 一条直线与椭圆(或抛物线)最多有两个交点,学生根据图形直观容易理解,而对于问题⑴、⑵,图形直观不易感知,学生常常得出错误判断.下面,我们找出问题的答案.
1. 一条直线与双曲线最多有两个交点
设双曲线方程为x?2a?2-y?2b?2=1a,b>0.
(1)若直线l的斜率不存在时,设直线l的方程为x=m,
∵x=m,?x?2a?2-y?2b?2=1, ? m?2a?2-y?2b?2=1,
即y?2=b?2a?2m?2-a?2 ①
显然方程①最多有两个解,所以此时直线l与双曲线最多有两个交点.
(2) 若直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,
∵y=kx+m,?x?2a?2-y?2b?2=1, ?x?2a?2-?kx+m?2b?2=1,
即b?2-ka?2x?2-2kma?2x-a?2m?2+b?2=0 ②
显然方程②最多有两个解,所以此时直线l与双曲线最多有两个交点.
综上:(1)、(2)得一条直线与双曲线最多有两个交点.
2. 双曲线一支的切线不可能与另一支相交
显然,过双曲线一支顶点的切线垂直于x轴,不可能与另一支相交.
不失一般性,取双曲线右支上的点Px?0,y?0x?0≠a,x?0>a,
∵P在双曲线上,即:x?2?0a?2-y?2?0b?2=1,
整理得b?2x?2?0-a?2y?2?0=a?2b?2 ③
又∵过点P的切线l′的方程为:x?0xa?2-y?0yb?2=1,
由x?0xa?2-y?0yb?2=1,?x?2a?2-y?2b?2=1, ?a?2y?2?0-b?2x?2?0x?2+2a?2b?2x-?a?2a?2b?2+a?2y?2?0=0 ④
将③代入④
整理得:x?2-2x?0x+x?2?0=0,
可得x=x?0.
所以,过P点的切线l′只能与双曲线一只相交.
我们利用方程组的解,证明了上面结论两个结论,即:一条直线与双曲线最多有两个交点;双曲线一支的切线不可能与另一支相交.
(贺松林 四川省绵阳市南山中学 621000)