一个最值问题的不同求法_分治法求最近对问题

　　问题:(05高考16题)已知在三角形ABC中,∠ACB=90?°?,BC=3, AC=4,P是AB上的点，求点P到AC，BC的距离的乘积的最大值.? 　　此题从条件上看是平面几何问题――解三角形,主要考察建立函数关系式及求函数的函数最值。?
　　分析1:如图,PE⊥BC于E,
　　PF⊥AC于F，设BP=x,
　　把PE、PF表示成x的函数,再由函数的知识求最值。?
　　?
　　解法1:如图PE⊥于BC于E,PF⊥AC于F,设BP=x,PE则PE=x ?sin?B=45x,PF=(5-x)?sin?A=35(5-x)?
　　∴PE•PF=4x4•35（5-x）=1225x(5-x)?
　　由二次函数的知识,当且仅当x=52时,PE•PF取得最大值,最大值是3。?
　　分析2:注意到∠ACB=90?°?，以C为坐标原点，CA与CB所在直线为x轴和y轴建立坐标系，转换角度思考，用解析几何知识求解。?
　　解法2：建立如图所示的坐标系，?
　　AB所在直线方程：x4+y3=1?
　　设P（a,b） (a＞0,b＞0)，在直线上，?
　　则1=a4+b3≥2ab12 ∴ab≤3?
　　?
　　当且仅当a4=b3=12时取等号，即?a=2,?b= 32?
　　而PE•PF=ab 故a=2,b=32时，PE、PF取得最大值,最大值是3。?
　　由此可见,换一种思考方式,解决的思路变了,充分挖掘题设条件,将会寻求到解题的新思路,思维将会走向灵活而多样化。
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”