对于刚进入高一年级的学生来说:立体几何难学,难学在哪呢?笔者认为有三难:一识图、作图难;二语言、符号理解、运用难;三寻求立体几何解题思路难。 一、 立体几何识图、作图难
立体几何中的图形都是直观图,立体图形的线面关系不能仅根据直观看起来不垂直,而在实际的立体几何中,可能垂直。直观图中的两条直线看起来垂直,但在实际的立体图形中,可能不垂直。同学们在学习平面几何中,已对平面几何的识图、作图有较深的认识,形成了思维定势,在看立体图形的直观图时,身不由己地用观察平面几何图形的方法去观察立体几何直观图,这就造成了识图、作图的错误。立体几何图形的直观图是帮助我们空间想象的示意图。正确的识图方法是根据已知条件弄清直观图中的线面关系,有些线面关系在已知条件中没有给出,但解题时又必须弄清楚,我们应当通过严密的推理论证确定它们的位置关系,切不可乱猜,弄清了线面关系,在直观图形的帮助下,一个正确的立体几何图形就在我们头脑中重现出来了。
要使立体图形在自己头脑中形成强烈的立体感,除了正确的读图外,平时要多作训练,在训练中去思考、领悟,通过训练我们对立体图形的直观图,从感性认识到理性认识,从而解决识图难的问题。
识图难,作图也不易,要将一个立体图形反映到一张纸上,作的图要人人能看懂,同时立体感要强,这对初学立体几何的人来说,有一定的困难,因此,我们在平时的学习中,要认真按教师讲的作图方法进行训练,认真分析课本,参学辅导书中的几何直观图画法,积累一批直观图的素材,通过模仿、思考、训练、总结,建立正确的空间思维,就能找到立体几何直观图的作图技巧,作图也就不难了。
二、语言、符号理解、运用难
立体几何借用了代数中集合的符号,保留了平面几何中的符合,形成了一套自己的语言和符号系统。立体几何的证明,有自己独特的证明风格和要求,证明的抽象程度就高,逻辑推理严密,这对高一年级的学生有较大的难度,同学们刚接触到立体几何,就要理解“有且只有”,“两两相交”,“空间四边形”,“直线不在平面内”,“直线与平面不相交”,“三条直线两两平行”,等难于理解的术语、概念;就要读懂立体几何的简洁、抽象的证明,如课本1.2节推论1证明,1.4节例题的证明等。这是同学们遇到的理解难。另外就是表达自己的意思难。大家都有过这样的一种体会,题目想通了,但不知如何将证明或解题过程写出来。有的同学的证明写得太?嗦,抓不住关键,让人看了,不知所云。有的同学又写得太简,让人看后觉得丢三落四,逻辑混乱。要解决上述问题,同学们得从术语、符号的“A、B、C”学起,真正掌握立体几何术语、符号的含义、用途;掌握定理、法则、公式的语言表述与符号表述;认真阅读课本,掌握立体几何证明的各种证明格式、书写要求。立体几何的证明要条理清楚,层次分明,简洁准确,逻辑力强。当我们无法表达自己意思时,我们应当思考自己的思维是否有条理。先证什么?后证什么?再证什么?第一层叙述到什么目的,第二层叙述要达到什么目的,……,各层叙述之间有何关系,最终要达到一个什么目的。当我们想清上述问题时,自然就能书写清楚了。
三、寻求立体几何解题思路难
得到题目,先要审题,审题时要弄清图形的线线、线面、面面关系,有的关系在已知关系中已给出,有的未给出,需要我们去推理才能弄清,因此同学们感到弄清立体几何中元素的位置关系难。几何元素的位置关系弄清后,就要寻找解题思路,从实质上看就是将你的疑难问题转化为你熟悉的问题,如何转化?同学们又感到难了。立体几何问题,通常都转化为平几问题,平几问题解决了,再回到立体几何问题中去就能将立体几何问题解决了。我们仔细阅读课本不难发现,立体几何的很多概念是用平几知识去定义的,例如异面直线所成的角,线面角,面面角,异面直线距离,点到直线距离,点到平面距离,平行平面间距离,线面距离,圆柱、圆锥、圆台、球的定义等等;课本中各定理的证明,几乎都与平几有关,课本中多面体与旋转体的性质放到平几中去研究。用平几知识去研究立体几何,这是立体几何一大特点,因此我们在解决立体几何问题时要有降维意识,即将立几问题转化为平几问题的意识。在各个面上去分析思考问题,再将各个面上的问题进行综合,就能将问题解决。在平几中,要将几何元素联系起来,需要作辅助线。在立几中,要将几何元素联系起来,不仅要作辅助线,有时还需要作辅助平面。课本中有作辅助平面的范例。例如直线与平面平行的性质,是利用辅助平面叙述的,平面与平面平行的性质也是用辅助平面叙述的,我们在解题时要利用平面与平面平行,或线面平行的性质,自然就要作辅助平面了。我们课本中的很多例题,在解答中大多通过作辅助面进行的,我们认真研究课本,就能摸清作辅助面的规律;
立体几何虽然难学,但只要我们认真研究课本,在勤做练习基础上,多思多悟,就可以化难为易了。
(孙晓军 江苏省沭阳县华冲中学 223641)